calculo

Capítulo IV: Cálculo Integral
Ya hemos comentado algunos de los problemas que dieron origen al orígen del
Cálculo, ahora hablaremos de alguno más, tal como el problema de calcular la longitud
de una curva o del área y volúmen de una figura acotada por curvas y superficies.
El origen de los métodos que ahora empleamos se remonta a más de 2000
años, cuando los griegos para resolver el problemadel cálculo del área de ciertas figuras
geométricas, idearon el procedimiento de exhaución: Dada una región cuya área quiere
determinarse, se inscriben en ella sucesivas regiones poligonales cuyas áreas se aproximen cada vez mejor al área de la región que queremos determinar; procediendo ahora
por "paso al límite"podremos determinar el área buscada. Este método fue usado satisfactoriamente porArquímedes (287-212 a. C.) para hallar la fórmula exacta del área
del círculo.
Gradualmente, este método ha ido transformándose en una potente herramienta
que tiene numerosas aplicaciones en todas las ciencias entre ellas la resolución de los
problemas ya enunciados y de otros relacionados, como ya veremos, tales como el cálculo
del centro de gravedad de un cuerpo y la fuerza de atracción de lagravedad

2

Índice general
1.

5

2.

7

3.

9

4. Integración en una y varias variables
4.1. Funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3. Propiedades de las funciones integrables . . . . . . . . . .4.1.4. Relación entre integración y derivación. . . . . . . . . . . .
4.1.5. Cómo evaluar una integral . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.6. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.7. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Cálculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Integración de funcionesracionales . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Integración de funciones no racionales . . . . . . . . . . . .
4.2.3. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Aplicaciones del cálculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. La integral como paso al límite
. . . . . . . . . . . . .
4.3.2. Cálculo del área de un recinto plano . . . . . . . . . . . .
4.3.3.Cálculo de la longitud de una curva . . . . . . . . . . . .
4.3.4. Cálculo del volumen y del área de un sólido de revo-lución
4.3.5. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1. ¿Por qué una nueva integral? . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2. Conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
4.4.3. Funciones medibles. Integral de Lebesgue . . . . . . . . . .
4.4.4. Funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.5. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.6. Funciones definidas por integrales . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Técnicas de integración en varias variables . . . . . . . . . . . . .
4.5.1. Teorema deFubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2. Cambio de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

11
11
11
13
14
15
16
17
20
21
21
25
28
29
29
31
32
33
36
39
39
40
42
43
44
46
47
47
48
50

4

ÍNDICE GENERAL
4.6. Algunas aplicaciones del cálculo integral a la Física
4.6.1. Volumen de un sólido . . . . . . . . . . . . .
4.6.2. Medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3. Centros de...