calculo

PRIMERA UNIDAD: LA ANTIDERIVADA Y LA INTEGRAL DEFINIDA
1. LA ANTIDERIVADA
En el estudio del primer curso de Cálculo, llamado Cálculo Diferencial, nuestro
interés era: dada una función f (x) encontrar su derivada f ' ( x) . Si ésta existía
decíamos que la función era “diferenciable”.

f ( x  h)  f ( x )
siempre que el límite exista.
h 0
h
En este segundo curso de Cálculo, nuestrointerés es el Cálculo Integral: dada
una función f (x) encontrar otra función F (x) (llamada Antiderivada) tal que
F ' ( x)  f ( x )
Su definición es f ' ( x)  lim

Ejemplo: Si f ( x)  x 2  3x entonces f ' ( x)  2 x  3
Luego si f ' ( x)  2 x  3 entonces f ( x)  x 2  3x
general f ( x)  x 2  3x  C
La Antiderivada no es única

ó

f ( x)  x 2  3x  5 ó en

Definición:
Diremosque una función F es una Antiderivada de una función f,
si F ' ( x)  f ( x) en algún intervalo.
Si F es una antiderivada de una función f, entonces G( x)  F ( x)  C también lo
es para cualquier constante C
Teorema: Si G' ( x)  F ' ( x)
G( x)  F ( x)  C x  I

para todo x en algún intervalo a, b , entonces

Demostración:
Definamos g ( x)  G( x)  F ( x) luego
g ' ( x)  G' (x)  F ' ( x)  0 x  a, b
Sean x1 , x2 tales que a  x1  x2  b según el Teo. Del Valor Medio existe k tal
g ( x2 )  g ( x1 )
que g ' (k ) 
ó
x2  x1
g ( x2 )  g ( x1 )  g ' (k )( x2  x1 )  0 x  a, b  g ( x2 )  g ( x1 )
Pero como x2  x1 entonces g(x) = constante = C
Luego, G( x)  F ( x)  C
G( x)  F ( x)  C
Ejemplos:
a) La Antiderivada de f ( x)  x 3 es G( x) x4
C
4

1

2x
x2
es G( x) 
C
3
3
1
c) La Antiderivada de f ( x) 
es G( x)  x  C
2 x
b) La Antiderivada de f ( x) 

Propiedades:
a) Sean F y G Antiderivadas de f y g respectivamente, entonces:
F + G es una antiderivada de f + g
k F es una antiderivada de kf
b) Si f es una función real tal que f ' ( x)  0 x  a, b) entonces f es una
función constante en (a, b)Notación:
Si F ' ( x)  f ( x) , la Antiderivada más general de f se representa por

 f ( x)dx  F ( x)  C
 integral f(x): integrando
 f ( x)dx “integral indefinida de f(x) con respecto a x”
C: constante de integración
Luego, las propiedades anteriores podemos escribirlas como:
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx  F ( x)  G( x)  C

 kf ( x)dx  k  f ( x)dx  kF ( x)  CAlgunas integrales indefinidas conocidas:
Derivada
d n
x  nx n 1
dx
d
( senx)  cos x
dx
d
(cos x)   senx
dx
d
(tan x)  sec 2 x
dx

Integral

x n 1
 x dx  n  1  C
 cos xdx  senx  C
n

 senxdx   cos x  C
 sec

2

xdx  tan x  C

2

Ejemplos:
3
2
 4 x  6 x  3x dx 







x 1

 x

x
3

dx 



 senx dx Aplicaciones a la Física:
Recordemos que si s(t ) representa la función posición de un objeto que se
mueve a lo largo de una línea recta, entonces
ds
a) su velocidad es v(t )  s' (t ) 
dt
dv
b) su aceleración es a(t )  v`(t ) 
dt
Luego, según la definición de antiderivada las cantidades s y v se pueden
expresar como integrales indefinidas
s(t )   v(t )dt

v(t )   a(t )dtConociendo la posición inicial s(0) y la rapidez inicial v(0) se pueden
obtener los valores específicos de las constantes de integración.
Ejemplo:
Un proyectil es disparado verticalmente hacia arriba desde el nivel del
suelo, con una velocidad inicial de 49 m/seg.
a) ¿Cuál es su velocidad a los t = 3 seg?
b) ¿Cuál es la máxima altura alcanzada por el proyectil?
c) ¿Cuánto dura el proyectil en elaire?
d) ¿Cuál es su velocidad de impacto?

 

Solución:
m
g  a(t )  9,8 seg 2

v(t )   a(t )dt    9.8dt  9.8t  C1

 

m
Como v(0)  49 seg

C1  49

 

m
Luego: v(t )  9.8t  49 y por lo tanto v(3)  9.8  3  49  19.6 seg
a) A los 3 segundos lleva una velocidad ascendente de 19.6 metros por
segundo

b) La altura del proyectil medida desde el nivel del...