Calculo

PRODUCTO ESCALAR O INTERNO DEFINICIÓN GEOMÉTRICA El producto escalar de dos vectores se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida.

ÁNGULOS ENTRE DOS VECTORES La expresión geométrica del producto escalar permitecalcular el coseno del ángulo existente entre los vectores:

VECTORES ORTONORMALES Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales.

ya que

.

VECTORES PARALELOS O EN UNA MISMA DIRECCIÓN. Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0radianes (0 grados) o de π radianes (180 grados). Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR.

EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR. Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes unitarios, tomando en cuenta que están en R3,tendremos que:

Por lo que, el producto escalar, se puede obtener como:

PRODUCTO VECTORIAL DEFINICIÓN Sean dos vectores y resultado un nuevo vector, su módulo y dirección:


en el espacio vectorial R3. El producto vectorial entre y da como . Para definir este nuevo vector es necesario especificar donde θ es el ángulo determinado por los

El módulo de está dado por vectores a y b.

La dirección del vector c, que es ortogonal a a y ortogonal a b, está dada por la regla de la mano derecha.

El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b. El producto vectorial puede definirse de unamanera más compacta de la siguiente manera:

donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES dos vectores concurrentes de R3, el espacio

Sean y afín tridimensionalsegún la base anterior.

En el que

es el determinante de orden 2. O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo máspequeño, la dirección de es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.

PROPIEDADES Cualesquiera que sean los vectores , y :

1. , (anticonmutatividad) 2. , cancelación por ortogonalidad. 3. Si con y , ; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones. 4. . 5. , conocida como regla de la expulsión. 6. , conocida como identidad deJacobi. 7. , en la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores a y b, siendo ,el ángulo menor entre los vectores y ; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores. 8. El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores y .

EJEMPLOS

PRODUCTO INTERNO

1) Tomando en cuenta que: A  3i  2j  k lossiguientes cálculos: a) A  B



 1 B  i  9j  20k y 2 b) A  C c) B  C

,

C  4i  j  3k . Obtener
d) A  A .



Resolución:

3 73 1 a) A  B  3   2 9   120   18  20   2 2 2 b) A  C  34  2 1   1 3  12  2  3  13 1 c) B  C   4   9 1  20 3  2  9  60  49 2 d) A  A  33  22   1 1 ...