Calculo

Trabajo de cálculo diferencial


• 2 ejercicios de modelos de funciones
• 4 ejercicios de aplicación de derivadas para graficación de funciones, con las graficas correspondientes
• 4 problemas de aplicación de derivadas para máx. y min. (optimización)


1. se requiere hacer una caja sin tapa cortando cuadrado congruentes de las esquinas de una hoja de lamina de 12x12pulgadas y doblando sus lados. ¿de que tamaño deben ser los cuadrados que se corten de las esquinas para que la caja tenga el volumen máximo?


[pic]
En la figura, los cuadrados de las esquina tienen x pulgadas de lado. El volumen de la caja es una función de esa variable
V(x) = x (12-2x) ^2 = 144x-48x^2+4x^3
Dado que los lados de la lámina miden solamente12pulgadas de largo, x[pic]6.
Derivamos v(x) para encontrar sus puntos críticos: v’(x)= 144-96x+12x^2= 12(12-8x+x^2)=12(2-x) (6-x)
De los dos ceros, x=2y x=6, solo x =2 cae dentro del dominio de la función y esta dentro de la lista de puntos críticos. Para este valor de x, el volumen máximo de la caja es de 128p^3.


2. encuentre dos valores positivos, cuya suma sea 20 ycuyo producto sea lo mas grande posible


Si su numero es x, el otro es (20-x). Su producto será:
F(x)= (20-x)=20x-x^2
Se busca un valor o valores de x que hagan f(x) tan grande como sea posible. El dominio de f es el intervalo cerrado 0[pic] x [pic]20.
Se evalúa f en sus puntos críticos y en sus puntos extremos. La primera derivada
F’(x)=20-2xEsta definida en cada punto del intervalo 0[pic] x[pic] 20 y es cero solo en x= 10. Al enumerar los valores de f en este punto critico y en los puntos extremos, se tiene:


Valor del punto critico: f (10)=100
Valor de los puntos extremos: f(0)= 0, f(20)=0
Se concluye que el valor máximo es f(10)=100. Los números correspondientes son X=10 y Y=10




Ejerciciosde aplicación de funciones, con las graficas correspondientes


1) F(x)= x^3+x^2-16x-16



Interceptos:

X=0

(0)^3+ (0) ^2-16(0)-16=-16

(0,-16)

Y=0

X^3+X^2-16x-16

(X^3+x^2)(-16x-16)

X^2(x+1)-16(x+1)

(X+1)(X^2-16)

(X+1)(X+4)(x-4)

(-1,0)(-4,0)(4,0)



F’(x) 3x^2+2x-16= 0

[pic][pic]

[pic]



[pic]

P1(x, y) = p1 (2,- 36)

P2(x2, y2) = p2 (-2,67, 14, 8)



F’’(x) 6x+2= 0

6x = -2

X = -2/6 = -1/3 = -0, 33



Punto de inflexión (-0, 33, -10, 6)

Concavidad

(-[pic], -0,33) u (-0,33,[pic])

[pic]

[pic][pic]





2) F(x) x^3+2x^2-9x-18



Interceptos:

X= 0

(0)^3+ (0) ^2-9(0)-18= -18

(0, -18)



Y= 0

X^3+2x^2-9x-18

(X^3+2x^2)(-9x-18)

X^2(x+2)-9(x+2)

(X+2)(X+3)(x-3)

(-2, 0)(-3,0)(3, 0)



F’(x) 3x^2+4x-9= 0

[pic][pic]

[pic]

[pic]

P1(x, y)= p1 (1, 2, -24,2)

P2(x2, y2)= p2 (-2,5, 1, 4)

F’’(x) 6x+4= 0

6x= -4

X= -4/6=-2/3= -0, 67

Punto de inflexión (-2/3, -11,4)

Concavidad

(-[pic], -0, 67) u (-0, 67,[pic])

[pic]

[pic][pic]



3) F(x) x^3+2x^2-x-2

X= 0

(o) ^3+2(0) ^2-(0)-2= -2

(0, -2)

Y= 0X^3+2x^2-x-2

(X^3+2x^2)(-x-2)

X^2(x+2)-1(x+2)

(X+2)(X+1)(x-1)

(-2, 0)(-1, 0)(1, 0)







F’(x) 3x^2+4x-1= 0

[pic][pic]

[pic]

[pic]

P1(x, y)= p1 (0, 22, -211)

P2(x2, y2)= p2 (-1, 55, 0, 63)

F’’(x) 6x+4= 0

6x= -4

X= -4/6= -2/3= -0, 67

Punto de inflexión (-0, 67, -0, 74)

Concavidad

(-[pic], -0, 67) u (-0, 67,[pic])[pic]

[pic][pic]

4) x^3+5x^2-4x-20

x= 0

0) ^3+5(0)^2-4(0)-20= -20

(0, -20)

Y= 0

X^3+5x^2-4x-20

(X^3+5^2)(-4x-20)

X^2(x+5)-4(x+5)

(X+5)(x-2)(X+2)

(-5, 0)(2, 0)(-2,0)

F’(x) 3x^2+10x-4= 0




[pic][pic]

[pic]

[pic]

P1(x, y)= p1 (0,361, -20,75)

P2(x2, y2)= p2 (-3,69, 12,6)

F’’(x)...