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Tema 5. Integración por sustitución
5.1 Método de integración por sustitución
El método de integración por sustitución, o también conocido como cambio de variable, es como utilizar la regla de la cadena pero a la inversa; se aplica la regla de la potencia de integración (aumenta uno al exponente de la base compuesta y dividir entre el exponente nuevo), siempre y cuando se encuentre comofactor, la derivada de dicha base compuesta.

En la tabla siguiente están algunos ejemplos de funciones en donde identificamos la función principal, la “u” y el cambio de variable.
Función
Función principal
u
Cambio de variable o sustitución

Potencia (polinomial)



Raíz cuadrada (potencia)



Exponencial
base “e”



Seno


La integración por el método de sustitución serealiza cuando tenemos una función elevada a un exponente, al hacer la derivada de la base y ésta está completa en la función original, entonces se integra utilizando cualquiera de los métodos aprendidos con anterioridad.

Ejemplo 1. Integra las siguientes funciones compuestas:

Se elige la base compuesta, regularmente es la que tiene el exponente mayor en la variable.

Se iguala la base compuestacon “u” y se deriva.

Se revisa si la derivada se encuentra como factor de la función, como en esta ocasión sí corresponde, entonces decimos que nuestra función está completa.

Cuando nuestra función está completa, entonces se procede a integrar, en este caso usando la regla de la potencia.

Ejemplo 2.

Se elige la base compuesta, regularmente es la que tiene el exponente mayor en lavariable.

Se iguala la base compuesta con “u” y se deriva.

Se revisa si la derivada se encuentra como factor de la función, en esta ocasión No corresponde, entonces decimos que nuestra función está incompleta, entonces hay que completarla agregando el número faltante.
El número que debemos agregar es el 3 y por fuera de la función 1/3 para que nuestra función no se altere.

Se multiplica5(1/3).

Cuando nuestra función está completa, entonces se procede a integrar, en este caso usando la regla de la potencia.
Al final, cuando se pueda, se deben reducir los coeficientes numéricos que nos queden a su mínima expresión.

En esta ocasión el “5” lo podemos reducir ya que se encuentra en el numerador y en el denominador.
Ejemplo 3.

Se elige la base compuesta, regularmente es la quetiene el exponente mayor en la variable.

Se iguala la base compuesta con “u” y se deriva.

Se revisa si la derivada se encuentra como factor de la función, en esta ocasión no corresponde, entonces decimos que nuestra función está incompleta y hay que completarla agregando el número faltante.
El número que debemos agregar es el 2 y por fuera de la función 1/2 para que nuestra función no sealtere.

Cuando nuestra función está completa, entonces se procede a integrar, en este caso usando la regla de la potencia.
Al final, cuando se pueda, se deben reducir los coeficientes numéricos que nos queden a su mínima expresión.

El resultado se puede dejar expresado como un binomio elevado a un exponente o como un radical.
Ejemplo 4.

Se elige la base compuesta, regularmente es la quetiene el exponente mayor en la variable.

Se iguala la base compuesta con “u” y se deriva.

Se revisa si la derivada se encuentra como factor de la función, en esta ocasión no corresponde, entonces decimos que nuestra función está incompleta y hay que completarla agregando el número faltante.
El número que debemos agregar es el 4 y por fuera de la función 1/4 para que nuestra función no sealtere.
Cuando nuestra función está completa, entonces se procede a integrar, en este caso usando la regla de la potencia.

Ejemplo 5.

Se elige la base compuesta, regularmente es la que tiene el exponente mayor en la variable.

Se iguala la base compuesta con “u” y se deriva.

Se revisa si la derivada se encuentra como factor de la función, en esta ocasión no corresponde, entonces...