Calculo

CAP´
ITULO V.
DERIVABILIDAD DE
FUNCIONES

SECCIONES
A. Definici´n de derivada.
o
B. Reglas de derivaci´n.
o
C. Derivadas sucesivas.
D. Funciones impl´
ıcitas. Derivaci´n logar´
o
ıtmica.
E. Ecuaciones param´tricas.
e
F. Recta tangente y normal.
G. Ejercicios propuestos.

151

´
A. DEFINICION DE DERIVADA.

Una funci´n y = f (x) se dice que es derivable en un punto c deldominio
o
cuando existe el l´
ımite del cociente incremental siguiente:
(1a)

l´
ım

x→c

f (x) − f (c)
.
x−c

Cada uno de los l´
ımites laterales de la expresi´n anterior se llama derivada
o
lateral de f en el punto x = c. Cuando las dos derivadas laterales existen
(son finitas) y son iguales, la funci´n es derivable en x = c y el resultado se
o
llama derivada de la funci´n en x= c. Otra forma de expresar la derivada
o
de una funci´n f en el punto c es:
o
(1b)

l´
ım

h→0

f (c + h) − f (c)
.
h

La f´rmula (1a) la aplicaremos para calcular derivadas de funciones en puno
tos particulares. Sin embargo es m´s conveniente utilizar (1b) para calcular
a
derivadas de funciones en puntos gen´ricos.
e
Observa que para calcular estos l´
ımites se deberesolver la forma indeterminada 0/0, para lo cual utilizaremos las t´cnicas mostradas en el cap´
e
ıtulo
3.
De la definici´n se deduce que toda funci´n derivable en un punto es neceo
o
sariamente continua en dicho punto.
La notaci´n que utilizaremos para expresar la derivada de una funci´n es
o
o
alguna de las siguientes:
f (x) = Df (x) =

df (x)
dy
o bien y = Dy =
.
dx
dx

Para lasderivadas laterales se usar´ la notaci´n an´loga f (x+ ) o bien
a
o
a
f (x− ), seg´n sea el caso.
u

PROBLEMA 5.1.

Calcular la derivada de la funci´n f (x) =
o
−1/2.

152

1
1
+
en el punto x =
x x2

Soluci´n
o

Utilizando la f´rmula (1a) y teniendo en cuenta que f (−1/2) = 2, resulo
ta:

f (−1/2) =

f (x) − f (−1/2)
1/x + 1/x2 − 2
= l´
ım
x + 1/2
x + 1/2
x→−1/2x→−1/2
l´
ım

x + 1 − 2x2
−(2x + 1)(x − 1)
= l´
ım
2 (2x + 1)/2
x2 (2x + 1)/2
x→−1/2 x
x→−1/2
−(x − 1)
3/2
=
l´
ım
=
= 12.
2 /2
x
1/8
x→−1/2

=

l´
ım

PROBLEMA 5.2.

Calcular la derivada de la funci´n f (x) =
o

√

3x − 2.

Soluci´n
o

En este caso utilizaremos la f´rmula (1b) para calcular la derivada en un
o
punto cualquiera:

f (x) =
=
=
=

√3(x + h) − 2 − 3x − 2
f (x + h) − f (x)
l´
ım
= l´
ım
h→0
h→0
h
h
√
√
( 3(x + h) − 2 − 3x − 2)( 3(x + h) − 2 + 3x − 2)
l´
ım
√
h→0
h( 3(x + h) − 2 + 3x − 2)
3(x + h) − 2 − (3x − 2)
l´
ım
√
h→0 h( 3(x + h) − 2 + 3x − 2)
3h
3
l´
ım
= √
.
√
h→0 h( 3(x + h) − 2 + 3x − 2)
2 3x − 2

153

PROBLEMA 5.3.

Demostrar:
d
a)
(c) = 0 siendo c una constante arbitraria.dx
d
b)
(x) = 1.
dx
d
(cx) = c.
c)
dx
d n
d)
(x ) = nxn−1 .
dx
Soluci´n
o

a)

d
c−c
(c) = l´
ım
= l´ 0 = 0.
ım
h→0 h
h→0
dx

b)

d
x+h−x
h
(x) = l´
ım
= l´
ım = 1.
h→0
h→0 h
dx
h

c)

c(x + h) − cx
ch
d
(cx) = l´
ım
= l´
ım
= c.
h→0
h→0 h
dx
h

d) Aplicando la f´rmula del binomio de Newton,
o
xn + nxn−1 h + n xn−2 h2 + · · · + hn − xn
(x+ h)n − xn
2
= l´
ım
h→0
h→0
h
h
nxn−1 h + n xn−2 h2 + · · · + hn
2
= l´
ım
h→0
h
n n−2
= l´ (nxn−1 +
ım
x
h + · · · + hn−1 ) = nxn−1 .
h→0
2

d n
(x ) =
dx

l´
ım

PROBLEMA 5.4.

Utilizando la definici´n, calcular las derivadas de las siguientes
o
funciones en los puntos que se indican:
3+x
en x = 2.
3−x
√
b) f (x) = 2x − 1 en x = 5.

a) f (x) =

154Soluci´n
o

a) Como f (2) = 5, tenemos
f (2 + h) − f (2)
1 5+h
= l´
ım
−5
h→0
h→0 h
h
1−h
6h
6
1
= l´
ım
= 6.
= l´
ım ·
h→0 1 − h
h→0 h 1 − h

f (2) =

l´
ım

b) En este caso f (5) = 3, con lo que
√
f (5 + h) − f (5)
9 + 2h − 3
= l´
ım
f (5) = l´
ım
h→0
h→0
h
h
√
√
9 + 2h − 3
9 + 2h + 3
= l´
ım
·√
h→0
h
9 + 2h + 3
2
1
9 + 2h − 9
= l´ √
ım
=...