calculo

NOMBRE DE LA ASIGNATURA O UNIDAD DE APRENDIZAJE

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
SESION 2


3. LÍMITES Y CONTINUIDAD

3.1. Definición de límite

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más! A esto lo llamamos el límite de una función.
Por ejemplo, ¿cuál es el valor de (x2-1)/(x-1) cuando x=1?(12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0
Pero 0/0 es "indeterminado", lo que significa que no podemos calcular su valor. En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:
x
(x2-1)/(x-1)
0.5
1.50000
0.9
1.90000
0.99
1.99000
0.999
1.99900
0.9999
1.99990
0.99999
1.99999
...
...

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2, así que decimos:El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2
Y con símbolos se escribe:








Su definición matemática será:

Como vimos en el capítulo anterior, el límite de una función es el valor L que parece tomar f(x) para cierto valor de la x llamado x0, sin embargo en el mundo de las matemáticas necesitaremos una definición formal que represente lo que acabamos dedecir. para esto podemos hacer un primer intento y decir que:

Cuando una función f(x) toma valores muy próximos a L cada vez que tomamos una x suficientemente cerca de x0 se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a x0, y se escribe:



3.2. Propiedades de los límites

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cocienteLímite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.


Límite de una raíz


Límite de un logaritmo



3.3. Límites laterales

Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas discontinuidades, llamadas funciones discontinuas yque estudiaremos en el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este tipo de funciones.
Consideremos la siguiente representación gráfica de una función f, en la que existe una discontinuidad cuando x=a:

Notemos que cuando x tiende hacia "a" por la derecha de "a" la función tiende a 2, pero cuando x tiende hacia "a" por la izquierda de "a", la funcióntiende hacia 1.
Escribimos x=a+ para indicar que x tiende hacia "a" por la derecha, es decir, tomando valores mayores que "a". Similarmente x=a- indica que x tiende hacia "a" por la izquierda, o sea, tomando valores menores que "a". Utilizando ahora la notación de límites, escribimos



Estos límites reciben el nombre de límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por laizquierda es 1.
3.4. Asíntotas
3.4.1. Verticales
3.4.2. Horizontales
3.4.3. Oblicuas

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Una definición más formal es:
DEFINICIÓN
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, unade sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
Asíntotas Horizontales



Calcular las asíntotas de la función





Asíntotas Verticales



Consideramos que el resultado del límite es ∞ si tenemos un número real partido por cero.
K son los puntos que nopertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales).
Calcular las asíntotas verticales de la función:










Asintotas oblicuas



Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.
Para que haya asíntota oblicua se tiene que cumplir que el grado del numerador sea exactamente un grado mayor que el del denominador.
Calcular las...