Calculo

CÁLCULO II
Cálculo de Varias Variables
Material didáctico empleado para el estudio del Cálculo de Varias Variables (ICM-01966) ssolis@espol.edu.ec GUAYAQUIL - ECUADOR

Unidad 2: GEOMETRÍA

Material de Cálculo II. Preparado por Ing. Soraya Solís UNIDAD 2: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

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La intersección de tres rectas perpendiculares entre sí llamadas ejes coordenados,forman el sistema de coordenadas rectangular en tres dimensiones. Las rectas reciben nombres de eje X, eje Y y eje Z respectivamente. Los ejes combinados de dos en dos forman tres planos llamados planos coordenados y son: XY, XZ y YZ que dividen el espacio en ocho octantes. Por convención, cualquier punto P de coordenadas (x, y, z) se grafica de tal forma que: z x es la distancia del punto alplano YZ y es la distancia del punto al plano XZ z es distancia del punto al plano XY y Obs. Se entiende por distancia la longitud del segmento perpendicular que une el punto P con el plano coordenado. La ubicación del punto determina el signo de la coordenada. x LUGARES GEOMETRICOS ESPECIALES Recta paralela al eje Z. Se define como x=K1 ; y=K2. Penetra al plano XY en (K1, K2, 0). Recta paralela aleje X. Se define como y=K1 ; z=K2. Penetra al plano YZ en (0, K1, K2) Recta paralela al eje Y. Se define como x=K1 ; z=K2. Penetra al plano XZ en (K1, 0, K2) Plano paralelo al plano YZ. Se define como x=K. Corta al eje X en (K, 0, 0) Plano paralelo al plano XZ. Se define como y=K. Corta al eje Y en (0, K, 0) Plano paralelo al plano XY. Se define como z=K. Corta al eje Z en (0, 0, K) Obs. K∈R. 2.1LA RECTA EN R3 Definición vectorial.- Sea P0 (x0, y0, z0) un punto que pertenece a la recta L, con vector director d diferente del vector cero dado por (a, b, c). Se define a L como el conjunto de puntos P(x, y, z) tales que la dirección del vector P0P es paralela a d. Esto es P0P = (x− x0, y− y0, z− z0) = t(a, b, c) ; t∈R−{0} A partir de la ecuación (1) se obtiene x = x0+ at y = y0 + bt z = z0 +ct que se denominan las ecuaciones paramétricas de L con parámetro t. Como t satisface a las tres coordenadas simultáneamente para un punto dado, se puede despejar e igualar t, obteniendo de esta forma las ecuaciones simétricas: (1)

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x − x0 y − y0 z − z0 = = ; a, b, c ∈ R − {0} a b c
Para rectas especiales: ⊥ al eje X→ b = 0 ∧ c = 0 ⊥ al eje Y → a = 0 ∧ c = 0 ⊥ al eje Z → a = 0 ∧ b = 0 ⊥ al plano XY → c = 0 ⊥ al plano XZ → b = 0 ⊥ al plano YZ → a = 0 Ej. 1) Determine si los puntos P(2,0,0) ∧ Q(3,1,1) ∈ a L si L: x=2+t y=−3t z=t

Ej. 2) Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta tal que: a) Contiene al punto (− 2,1,0) y es paralela al vector (1, − 1,3) b) Contiene los puntos P(− 1,2,3) ∧Q(1,3,5) c) Contiene al punto (2,− 1,1) y es paralela al eje Y d) Contiene al punto (− 4,0,3) y es perpendicular al plano XY. Definiciones sobre rectas Rectas Paralelas.- Si y sólo su sus vectores directores son paralelos. Rectas Perpendiculares.- Si y sólo si sus vectores directores son ortogonales. Rectas alabeadas.- Si y sólo si no son coplanares. Rectas secantes.- Si y sólo sí se intersecan en unpunto. Ej. 3) Encuentre de ser posible las coordenadas del punto de intersección de las rectas: x = 1+2t y = − 2− 3t z = 5+4t x = 7+3u y = 2+2u z = 1− 2u

L1:

;

L2:

Ej. 4) Determine que tipo de rectas son L1 y L2. x = − 7 + 3t x = 21+6s L1: y = − 4 + 4t ; L2: y = − 5 − 4s z = − 3 − 2t z = 2 −s Ej. 5) Encuentre el baricentro del triángulo definido por (1, 2, 1) ; (2, 3, 3); (3, −2, 3). 2.2EL PLANO EN R3 Definición vectorial.- Sea P0(x0, y0, z0) ∈ R3 y sea n un vector de coordenadas (a, b, c) diferente del vector cero. Se define el plano que contiene a P0 y es normal a n, como el conjunto de puntos P(x, y, z) tales que P0P forma una dirección ortogonal a n. Esto es: (x – x0 , y – y0 , z – z0).(a, b, c) = 0 (ecuación vectorial) ≡ a(x – x0) + b (y – y0) + c( z – z0) = 0 ≡ ax + by...