calculo

Nociones de Topología
I) Espacios Metricos
Sea X un conjunto no vacío
Sea la función
𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℝ
(𝑝, 𝑞) ↦ 𝑑(𝑝, 𝑞)

(E1)

∀𝑝, 𝑞, 𝑟 ∈ 𝑋
i) 𝑝 ≠ 𝑞,
𝑑 (𝑝, 𝑞) > 0
𝑝 = 𝑞,
𝑑 (𝑝, 𝑞) = 0
ii) Conmutatividad
𝑑 (𝑝, 𝑞) = 𝑑(𝑞, 𝑝)
iii) “Desigualdad triangular”
𝑑 (𝑝, 𝑞) ≤ 𝑑 (𝑞, 𝑟) + 𝑑(𝑟, 𝑞)

(C1)

Def 1) La función “d” que satisface i, ii, iii, la llamamos métrica.
Def 2) La estructura (𝑿,𝒅) la llamaremos Espacio métrico.
Es decir, un espacio métrico es cualquier conjunto no vacío en el cual se puede
definir una métrica.
Propiedades
P1)

∀𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋, se verifica (𝑝, 𝑞) ≥ 0

Demostración
𝑑 (𝑝, 𝑝) ≤ 𝑑 (𝑝, 𝑞) + 𝑑 (𝑞, 𝑝), ∀𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋
0 ≤ 2𝑑 (𝑝, 𝑞)
∴ ∀𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋,
𝑑(𝑝, 𝑞) ≥ 0
P2) Si 𝑑 (𝑝, 𝑞) = 0 ⇒ 𝑝 = 𝑞
Demostración “Por reducción al absurdo”
Sea 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑑 (𝑝, 𝑞) = 0
pero 𝑝 ≠𝑞 ⇒ 𝑑 (𝑝, 𝑞) > 0
esto contradice 𝑑 (𝑝, 𝑞) = 0
∴ P2 es verdadero

(DP1)

(DP2)

Ejemplos de métricas:
_____________________________________________________________________________
Mat. Edgar Johni Bustamnte Romero
ESPOL – FCNM-ICM

1)

𝑋 = ℝ, 𝑑 (𝑝, 𝑞) = |𝑝 − 𝑞|

2)

𝑎1
𝑏
𝑋 = ℝ2 , 𝑑 ((𝑎 ) , ( 1 )) = √(𝑎1 − 𝑏1 )2 + (𝑎2 − 𝑏2 )2
𝑏2
2

3)

𝑎1
𝑏
𝑋 = ℝ2 , 𝑑 ((𝑎 ) , ( 1 )) =Max{|𝑎1 − 𝑏1 |, |𝑎2 − 𝑏2 |}
𝑏2
2

Actividad en clase
Determinar que 1,2,3 son métricas.

Tarea 1
T 1.1)

𝑋 = ℝ, 𝑑(𝑝, 𝑞) = [|𝑝 − 𝑞|]

a) (𝑋, 𝑑) es un espacio métrico?
b) ¿Qué propiedad sí cumple y qué propiedad no cumple?

II) Elementos de los Espacios Metricos.
Def 2.1) Entorno.- Sea (𝑋, 𝑑) espacio métrico, Se dice entorno, vecindad o bola
al conjunto 𝑁𝑟 (𝑝) = { 𝑞 ∈ 𝑋, 𝑑 (𝑝, 𝑞)< 𝑟}, al punto "𝑝" le llamamos centro y a
"𝑟" lo llamamos radio.
Caso particular.
𝑁𝑟 (𝑝) = {𝑞 ∈ 𝑋, |𝑝 − 𝑞| < 𝑟}
Ejemplo
Ej. 2.1)

𝑁2 (3) = {𝑞 ∈ ℝ, |𝑞 − 3| < 2}

𝑁−1 (0) = {𝑞 ∈ ℝ, |𝑞 − (0)| < −1}
𝑁−1 (0) = ∅
Observamos que el radio debe ser positivo.
Ej. 2.2)

Observación:
Otra notación puede ser: 𝐵(𝑃, 𝛿 ) = 𝑁𝛿 (𝑝)_____________________________________________________________________________
Mat. Edgar Johni Bustamnte Romero
ESPOL – FCNM-ICM

Entorno "No Incluido".
Def 2.1.1). 𝑜
𝑁 𝑟 (𝑝) = { 𝑞 ∈ 𝑋, 0 < 𝑑(𝑝, 𝑞) < 𝑟}
A este conjunto lo llamamos entorno "No Incluido" por cuanto
𝑁𝑟(𝑝) = 𝑁𝑟 (𝑝) − {𝑝} es decir no incluye el punto centro.
Ejemplo:
Ej.2.3)

En adelante con frecuencia tomaremos la métrica euclidiana, es decir
𝑑 (𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦|

Def 2.2) Punto deacumulación o Punto Límite.
Sea 𝐸 ⊂ 𝑋, 𝑝 ∈ 𝑋 , no necesariamente 𝑝 ∈ 𝐸, se dice que 𝑝 es un punto de
acumulación del conjunto 𝐸 si y solo si, ∀𝑟 > 0

Esto significa que siempre se puede encontrar un punto del conjunto 𝐸 tan cercano
al punto 𝑝 como se quiera.

Ejemplo:
Ej. 2.4)
𝑋 = ℝ, 𝐸 = (1
Se puede verificar ∀𝑟 > 0

3], 𝑝 = 1_____________________________________________________________________________
Mat. Edgar Johni Bustamnte Romero
ESPOL – FCNM-ICM

que 𝑝 = 1 ∉ 𝐸

Observamos

Def 2.3) Punto Aislado.
Sea 𝑋 = ℝ, 𝐸 ⊂ 𝑋, se dice que 𝑝 es un punto aislado del conjunto 𝐸 si y solo si
𝑝 ∈ 𝐸 y 𝑝 no es punto de acumulación de 𝐸.
Ej. 2.5)

𝑋 = ℝ, 𝐸 = {1,2,3}
𝑝 = 1 𝑒𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝐸
𝑝 = 2 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝐸
𝑝 = 3 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝐸

Def 2.4)Conjunto Cerrado.
Sea, 𝐸 ⊂ 𝑋, se dice que 𝐸 no es cerrado si y solo si todos sus puntos límites o de
acumulación pertenecen a él.
Ej. 2.6)
𝑋 = ℝ, 𝐸 = (1 3]
No es cerrado, ya que 1 es el punto de acumulación de 𝐸 y 1 ∉ 𝐸
Ej. 2.7) Si 𝐸 no tiene puntos de acumulación entonces 𝐸 es cerrado.
Def 2.5) Punto Interior.
Sea 𝐸 ⊂ 𝑋 , se dice que 𝑝 es punto interior de 𝐸 si y solo si ∃𝑟 > 0, 𝑁𝑟(𝑝) ⊂ 𝐸Observamos que, si 𝑝 es punto interior de 𝐸 entonces 𝑝 ∈ 𝐸
Def 2.6) Conjunto Abierto.
Sea 𝐸 ⊂ 𝑋, se dice 𝐸 es conjunto abierto si y solo si todos sus puntos son puntos
interiores.
Observaciones:
Decir "No Cerrado" no implica "Abierto".
Decir "No Abierto" no implica "Cerrado".
Existen conjuntos que son abiertos y cerrados a la vez.
Proposición 2.1
Toda vecindad es un conjunto abierto....