Calculo

Curvas, Superficies e Integrales

Gabriel Acosta y Noem´ Wolanski ı

´ Indice general
Preliminares Cap´ ıtulo 1. Curvas 1. Parametrizaciones y suavidad Ejercicios 2. Longitud de una curva Ejercicios 3. Integral de longitud de arco Ejercicios 4. Integrales curvil´ ıneas Ejercicios Cap´ ıtulo 2. Superficies 1. Parametrizaciones y suavidad Ejercicios 2. Area de una superficie 3. Integral desuperficie 4. Orientaci´n de superficies y flujo a trav´s de una superficie o e Ejercicios Bibliograf´ ıa 5 7 7 12 15 21 22 24 25 28 31 31 36 37 38 41 44 47

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Preliminares
En estas notas se presentan los temas de curvas, superficies e integrales sobre curvas y superficies como se dar´ en un primer curso para alumnos de An´lisis II / Matem´tica 3 en ıan a a la Facultad de Ciencias Exactas yNaturales de la UBA. Se trata de presentar los temas sin un exagerado formalismo pero sin perder las ideas geom´tricas subyacentes. e Por lo tanto, se trata de evitar identificar una curva o una superficie con una parametrizaci´n o de la misma. Del mismo modo, se busca que las definiciones de recta (resp. plano) tangente sean intr´ ınsecas a la curva (resp. superficie). En el caso de curvas, siguiendo ellibro de Apostol [1] se define rectificabilidad y longitud de una curva en forma intr´ ınsecas y se prueba la f´rmula que permite calcular la longitud a partir o de una parametrizaci´n. o Con la misma l´gica, se define la integral con respecto a longitud de arco de una funci´n o o cont´ ınua, y correspondientemente, la integral curvil´ ınea de un campo en forma intr´ ınseca a partir de motivaciones f´ısicas sobre el inter´s de estos c´lculos. Las f´rmulas para el c´lculo utilizando e a o a parametrizaciones es una consecuencia inmediata de las definiciones y de las f´rmulas para la o longitud. En el caso de superficies, se define el plano tangente en forma intr´ ınseca y luego se obtiene su ecuaci´n a partir de una parametrizaci´n. El c´lculo del ´rea se sugiere hacerlo utilizando o o a a unaparametrizaci´n siguiendo, por ejemplo, el libro de Marsden y Tromba [3]. o Como en el caso de curvas, una vez que se tiene una forma de calcular el ´rea, las definiciones a de integral de superficie de una funci´n continua y de flujo de un campo a trav´s de una superficie o e se realizan a partir de aplicaciones f´ ısicas y puede hacerse de manera ‘bastante’ intr´ ınseca. Agregamos en cada cap´ ıtulo losejercicios que se sugieren a los alumnos sobre estos temas. El curso concluye con los Teoremas del C´lculo Integral (Green, Stokes y Gauss) y aplicaa ciones al modelado de fen´menos de la f´ o ısica (Ley de conservaci´n de masa, Ecuaci´n del Calor, o o Ecuaciones de Maxwell). No incluimos estos temas que est´n muy bien expuestos en [3]. a

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CAP´ ıTULO 1

Curvas
1. Parametrizaciones ysuavidad

´ Definicion 1.1. Una curva C ⊂ R3 es un conjunto de puntos en el espacio que puede describirse mediante un par´metro que var´ en forma continua en un intervalo de la recta. a ıa M´s precisamente, C es una curva si existen funciones x(t), y(t), z(t) definidas en alg´n a u intervalo [a, b] tales que (x, y, z) ∈ C si y s´lo si existe t ∈ [a, b] tal que o  x = x(t),  y = y(t),   z = z(t)Llamemos σ : [a, b] → R3 a la funci´n σ(t) = x(t), y(t), z(t) . Entonces, C es la imagen por o σ del intervalo [a, b]. σ se llama una “parametrizaci´n de C ”. o El ejemplo m´s elemental de curva en el plano es el gr´fico de una funci´n continua f : a a o [a, b] → R. El gr´fico es una curva que admite la parametrizaci´n, con t ∈ [a, b], a o x(t) = t y(t) = f (t) Pero, a´n en el plano hay curvas queno son el gr´fico de ninguna funci´n. Por ejemplo, una u a o circunferencia. Para un ejemplo en el espacio ver la figura 1. Uno de los conceptos importantes al tratar con curvas es el de recta tangente a la curva en un punto P0 ∈ C. Se trata de la recta por P0 que mejor aproxima a C en un entorno de P0 . Este concepto ya se vi´ en el caso en que C ⊂ R2 es el gr´fico de una funci´n. Recordemos su o...