calculo

Colegio simón bolívar
Logaritmo
Trabajo elaborado por:
Nombre: Gisella acosta castro
Grado: 11
Materia: Calculo
Madrid (Cundinamarca)
02/08/2014
Colegio simón bolívar
Logaritmo
Presentado para:
Nombre: Edgar Duarte
Grado: 11
Materia: Calculo
Madrid (Cundinamarca)
02/08/2014
Índice
1.Definición2.Propiedades generales3.Identidades logarítmicas4.Propiedadesanalíticas4.1 Función logarítmica4.2 Función inversa4.3 Derivada e integral indefinida4.4 Transcendencia del logaritmo5. Calculo
5.1 Serie de potencias5.2 Aproximación mediante media aritmético-geométricaObjetivos generales
Este trabajo tiene como fin aprender acerca de los logaritmos, su funciones específicas y todo su contenido general.
Definición
Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asignael exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.

(Esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; si y sólo si b elevado a la n da por resultado a x)
Para que la definición sea válida, no todas las bases y números sonposibles. La base b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número positivo x > 0 y n puede ser cualquier número real (n ∈ R).
Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.
Propiedades generales
Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes quelos caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; logb b = 1 ya que b1 = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); logb 1=0 ya que b0 = 1.
Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 <  a < 1 entonces logb a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores queuno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También se puede demostrar usando la identidad logarítmica logb(x/y)=logb x - logb y; puesto que a pertenece al intervalo 0 <  a < 1, su inverso a-1 será mayor que uno, con lo que logb(a)=logb(1/a-1) = logb 1 - logb(a-1)= -logb(a-1).
Los números negativos no tienen logaritmo enel cuerpo de los reales R, ya que cualquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bn será mayor que cero, bn > 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacerbn = x cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos de números negativos usandoel logaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler.
Identidades logarítmicasLos logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

El logaritmo de una potencia es igualal producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:

Propiedades analíticasFunción logarítmica:
Para justificar la definición de logaritmos, es necesario mostrar que la ecuaciónexponencial
Tiene una solución x y que esta solución es única, provista de que y es positivo y que b es positivo y distinto de 1. Una demostración de este hecho requiere del teorema del valor intermedio del cálculo elemental. Este teorema establece que una función continua que produce dos valores m y n también produce cualquier valor que se encuentre entre m y n. Una función es continua si esta no...