Calculo

´ ´ ´ Metodos basicos de integracion
Notas de repaso Fundamentos Matem´ticos de la Ingenier´ II a ıa Grado en Ingenier´ Civil ıa Universidad de Alicante Curso 2011/2012. Febrero de 2012

M´todos b´sicos de integraci´n e a o

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´ Indice
1. Integral indefinida. Integrales inmediatas 1.1. Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Integrales inmediatas . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6

2. M´todos generales de integraci´n e o 7 2.1. Integraci´n por descomposici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 o o 2.2. Integraci´n por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 o 2.3. Integraci´n por cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . 12 o 3. Integraci´n de funciones racionales o 4. Integraci´n de funciones racionalestrigonom´tricas o e 5. Integraci´n de algunas funciones irracionales cuadr´ticas o a 6. Referencias 7. Ejercicios propuestos 8. Ejercicios resueltos 9. Respuestas a los ejercicios propuestos 10.Ap´ndice e 10.1. Derivadas de las funciones elementales . . . . . . . 10.2. Algunas identidades trigonom´tricas e hiperb´licas . e o 10.2.1. Identidades trigonom´tricas b´sicas . . . . . e a 10.2.2.Identidades hiperb´licas b´sicas . . . . . . . o a 13 18 20 23 23 25 30 34 34 34 34 35

. . . .

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1.
1.1.

Integral indefinida. Integrales inmediatas
Integral indefinida

Definici´n 1.1. Sea f : I → R una funci´n continua en un intervalo I de o o la recta real. Se dice que una funci´n F : I → R esuna primitiva de f (x) si o F (x) es derivable en I y se verifica que

F (x) = f (x), ∀x ∈ I.

(1)

Proposici´n 1.1. Bajo las mismas condiciones de la definici´n anterior, si o o f (x) admite una primitiva F (x), entonces todas las primitivas de f (x) son las funciones de la forma F (x) + C, donde C es una constante real.

Definici´n 1.2. Si f (x) es continua en un intervalo I de la rectareal, se o llama integral indefinida de f (x), y se representa por

f (x)dx,

(2)

al conjunto de todas las funciones primitivas de f (x) en I.

Proposici´n 1.2. Sean f , g : I → R dos funciones continuas en un intervalo o I de la recta real, entonces se verifica que

•

d dx

f (x) dx

= f (x),

•

[λf (x) + µg(x)] dx = λ

f (x) dx + µ

g(x) dx, ∀λ, µ ∈ R.

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1.2Integrales inmediatas

1.2.

Integrales inmediatas

A continuaci´n se muestran las integrales indefinidas inmediatas m´s o a usuales.

[f (x)]k+1 f (x) [f (x)] dx = + C, k ∈ R, k = −1, k+1
k

f (x) dx = log |f (x)| + C, f (x) f (x) ef (x) dx = ef (x) + C, f (x) af (x) log a dx = af (x) + C, a > 0, f (x) sen[f (x)] dx = − cos[f (x)] + C,

f (x) cos[f (x)] dx = sen[f (x)] + C, f (x) dx = − cot[f(x)] + C, sen2 [f (x)] f (x) dx = tan[f (x)] + C, cos2 [f (x)]

Recordemos que log x denota el logaritmo neperiano del n´mero real positivo x. u

M´todos b´sicos de integraci´n e a o

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f (x) senh[f (x)] dx = cosh[f (x)] + C,

f (x) cosh[f (x)] dx = senh[f (x)] + C, f (x) dx = tanh[f (x)] + C, cosh2 [f (x)] f (x) 1 − [f (x)]2 f (x) 1 + [f (x)]2 dx = arcsen[f (x)] + C,

dx = argsenh[f (x)] + C,

f (x) dx = arctan[f (x)] + C, 1 + [f (x)]2 f (x) dx = arg tanh[f (x)] + C, 1 − [f (x)]2 f (x) [f (x)]2 − 1 dx = arg cosh[f (x)] + C.

2.
2.1.

M´todos generales de integraci´n e o
Integraci´n por descomposici´n o o

Proposici´n 2.1. Sea f : I → R una funci´n continua en un intervalo I de o o la recta real. Si f (x) = λ1 h1 (x) + . . . + λn hn (x), con λi ∈ R, i = 1, . . . ,n entonces f (x) dx = λ1 Ejemplo 2.1. Calcule h1 (x) dx + . . . + λn
x+1 dx. + 3x − 2

hn (x) dx.

(3)

−2x2

Observemos que el polinomio del denominador es de segundo grado, en tanto que el polinomio del numerador es de primer grado. Esto significa que con las transformaciones adecuadas podremos hacer aparecer en el numerador la derivada

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2.1 Integraci´n por descomposici´n o o...