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INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS


En geometría plana, el sistema de coordenadas polares se usa para dar una descripción cómoda
de ciertas curvas y regiones. (Vea Sección 10.3.) La Figura 1 hace posible que recordemos
la conexión entre coordenadas polares y cartesianas. Si el punto P tiene coordenadas cartesianas
(x, y) y coordenadas polares (r, ¨), entonces, de la figura,x =r cos θ y = r sen θ

tan θ =

En tres dimensiones hay un sistema de coordenadas, llamadas coordenadas cilíndricas,
que es semejante a las coordenadas polares y da descripciones cómodas de algunas superficies
y sólidos que por lo general se presentan. Como veremos, algunas integrales triples
son mucho más fáciles de evaluar en coordenadascilíndricas.
En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en espacio tridimensional está
representado por el triple ordenado (r, ¨, z), donde r y q son coordenadas polares de la
proyección de P sobre el plano xy y z es la distancia dirigida desde el plano xy a P. (Vea
Figura 2.)
Para convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares, usamos las ecuaciones
x = r cos θy =r sen θ z= z

mientras que para convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas, usamos

z= z

EJEMPLO 1
(a)Localice el punto con coordenadas cilíndricas (2, 2 π /3, 1) y encuentre sus coordenadas
rectangulares.

(b) Encuentre coordenadas cilíndricas del punto con coordenadas rectangulares
(3,-3, -7).

SOLUCIÓN
(a) El punto con coordenadas cilíndricas (2, 2π/3, 1) está localizado en la Figura 3. De las
Ecuaciones 1, sus coordenadas rectangulares son

X=2cos (2 π/3)=2(-1/2)=-1

Y=2sen (2 π/3)=2(√3/2)= √3

z =1

Entonces el punto es (-1, √3,1) en coordenadas rectangulares.

(b) De las Ecuaciones 2 tenemos

R=√3

Tan θ = -3/3= -1 y θ =3√2

Z= -7

Por tanto, unconjunto de coordenadas cilíndricas es (3√2, 7 π /4, -7). Otro es (3√2,- π /4,
-7). Al igual que con las coordenadas polares, hay un número infinito de opciones. 

Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que comprenden simetría alrededor de
un eje, y el eje z se selecciona para que coincida con su eje de simetría. Por ejemplo, el eje del
cilindro circular con ecuación cartesiana esel eje z. En coordenadas cilíndricas,
este cilindro tiene la muy sencilla ecuación r = c. (Vea la Figura 4.) Ésta es la razón del
nombre de coordenadas “cilíndricas.”

En coordenadas cilíndricas el cilindro es r =1 y el paraboloide es z =1 -
así que se puede escribir
Puesto que la densidad en (x, y, z)es proporcional a la distancia desde el eje z, la función
de densidad esf(x,y,z)= K √X2+y2= Kr
donde K es la constante de proporcionalidad. Por lo tanto, de la fórmula 15.6.13, la masa
de E es

m=∫∫∫ K √ dv

=(Kr) dz dr

=dr

=)dr

=()=

EJEMPLO 4 Evalúe.
SOLUCIÓN Esta integral iterada es una integral triple sobre la región sólida
E={(x,y,z)│-2≤x≤2,-≤Y≤,≤ Z ≤ 2}

y la proyección de E sobre el plano xy es el disco ≤4. La superficie inferior de E
esel cono Z= y su superficie superior es el plano z =2. (Véase fig. 9.) Esta
región tiene una descripción mucho más simple en coordenadas cilíndricas:
E={(r,θ,z)│0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 2, r ≤ z ≤ 2
Por lo tanto, se tiene:

= )dV

=

=

=








INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFÉRICAS
Otro útil sistema de coordenadas en tres dimensiones es el sistema de coordenadas esféricas.Simplifica la evaluación de integrales triples sobre regiones acotadas por esferas o conos.
COORDENADAS ESFÉRICAS
Las coordenadas esféricas (r, θ, ᶲ) de un punto P en el espacio se ilustran en la Figura 1,
donde ƿ= |OP| es la distancia del origen a P, θ es el mismo ángulo que en coordenadas
cilíndricas, y ᶲ es el ángulo entre el eje z positivo y el segmento de línea OP. Nótese que
ƿ≥0...