Calculo

Sucesiones y Series Infinitas

1.- Expresa el número decimal periódico 0.73 como una suma infinita y calcula su valor.

Solución

El número decimal periódico se puede escribir como:

0.73=0.7+0.03+0.003+0.0003+0.00003+ 0.000003……………..

Otra forma de escribirlo es:

0.73=0.7+31102+31103+31104+31105+31106+ ……………….

Factorizando la expresión 31102 podemos escribir este número como:0.73=0.7+311021+1101+1102+1103+1104+ ……………….

Al escribir en forma de sumatoria la expresión de los corchetes encontramos:

0.73=0.7+31102n=0∞110n (1)

Para calcular el valor es necesario saber la convergencia de la sumatoria, para ello recordemos la serie geométrica:

n=0∞xn=11-xx<1

En nuestro caso x=110. Sustituyendo este valor en la serie geométrica encontramos:

n=0∞110n=11-110=1910=109

Sustituyendo este valor en la ecuación (1) obtenemos:

0.73=0.7+31102109

Elevando al cuadrado:
0.73=0.7+3102109
Multiplicando:
0.73=0.7+130
Realizando el quebrado:
0.73=21+130
Finalmente:
0.73=2230

2.- A una partícula que se mueve en línea recta, se le aplicauna fuerza, de manera que cada segundo la partícula recorre la mitad de la distancia que ha recorrido en el segundo anterior. Si la partícula recorre 20cm en el primer segundo. ¿Qué distancia total recorrerá?

Solución

Nos dicen que la distancia disminuye la mitad por cada segundo, por lo que podemos expresarla distancia total que recorre como:dtotal=dinicial+dinicial2+dinicial4+dinicial8+dinicial16+dinicial32+ ………..

Factorizando dinicial tenemos:

dtotal=dinicial1+12+14+18+116+132+ ………..

Esto se puede escribir como:

dtotal=dinicial1+12+122+123+124+125+ ………..

O bien:

dtotal=dinicialn=0∞12n

En nuestro problema dinicial=20cm, así

dtotal=20n=0∞12n cm (1)

Para calcular el valor es necesario saber laconvergencia de la sumatoria, nuevamente recordemos la serie geométrica:

n=0∞xn=11-x x<1

En nuestro caso x=12. Sustituyendo este valor en la serie geométrica encontramos:

n=0∞12n=11-12=112=2

Sustituyendo este valor en la ecuación (1) obtenemos:

dtotal=20(2)cm

dtotal=40 cm

Razón de Cambio

1.- La ley de Boyle para los gases ideales establece que atemperatura constante el producto de la presión P por el volumen V es una constante k. Es decir, PV=k
Si la presión para un gas ideal como función del tiempo t está dada por la expresión: Pt=15+2t2 cm hg (centímetros de mercurio) y el volumen inicial es de 20cm3. Determina la razón de cambio del volumen V con respecto al tiempo t a los 10 segundos.

Solución

Debemos determinar la razón decambio del volumen respecto al tiempo lo que significa que debemos encontrar:
dVdt

Para ello usaremos la ley de Boyle PV=k, y la derivaremos de ambos lados de la igualdad con respecto al tiempo, es decir:

d(PV)dt=dkdt

El término de la izquierda se deriva como un producto de funciones mientras que el término de la derecha es la derivada de una constante, por lo que obtendremos:PdVdt+VdPdt=0

Despejando obtenemos:

dVdt=-VPdPdt (1)

En el problema tenemos que la presión como función del tiempo es Pt=15+2t2 por lo que lo derivaremos respecto al tiempo:

dPdt=ddt(15+2t2)

dPdt=4t

Sustituimos esta expresión en la ecuación (1) y se obtiene que:

dVdt=-VP4t(2)

Esta expresión representa la razón de cambio del volumen para cualquier tiempo. Nos piden calcular esta razón en el tiempo t=10s, por lo que debemos determinar el volumen y la presión a los 10 segundos. Para ello primero determinemos el valor de la constante k. Inicialmente tenemos que el volumen al tiempo t=0 el volumen es de 20cm3, es decir; V0=20 y la presión en ese tiempo es:...