Calculo

LA DERIVADA
1. DEFINICIÓN
La definición más común hace referencia a que la derivada es el límite del cociente entre el incremento de una función y el de la variable cuando este último tiende a cero.
2. Definición geométrica de la derivada 

La definición geométrica de la derivada está relacionada directamente con la pendiente de una recta tangente a una curva esto es:
Si y = f(x), esuna curva y Q[a,f(a)] es un punto sobre esta curva, entonces la pendiente de la recta tangente a la curva   y = f(x)   en el punto [ a, f(a) ] es igual a:
[pic]
Y se llama derivada de f en x = a.
3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN CUALQUIER PUNTO (definición)
La derivada de una función se puede representar también como [pic]y se lee derivada de y con respecto a x. 
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4. DERIVADA DEUNA FUNCIÓN EN UN PUNTO (definición)
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5. PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS
Primeras propiedades básicas
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6. REGLA DE LACADENA
La regla de la cadena se enuncia si se tiene una función y = f(u) derivable de u, y u = g(x), es decir, derivable de x, entonces se puede afirmar que y = f[ g(x) ] siendo función derivable de x, con:
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7. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
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8. DERIVADA DE LASFUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
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9. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES
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10. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN IMPLÍCITA
Derivar implícitamente esconsiderar uno de los términos (y) de una igualdad como función del otro término (x), para que después de tener la ecuación resultante se despeje el valor de dy / dx.
Para realizar dicho procedimiento se recomienda utilizar los siguientes pasos:
[pic]
Nota: recordar q cada vez q derivemos a y siempre saldrá dy/dx como un factor todo lo demás se deriva de la forma q hemos aprendido.

Segundaforma de derivar implícitamente:
[pic] 
Donde
* F(x) es la función dada igualada a cero
* Fx es la función derivada con respecto solo a x esdecir q y se toma
como constante
* Fy es la función derivada con respecto solo a yesdecir q x se toma
como constante
11. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Una derivada de orden superior es aquella derivada que resulta de formar una nueva función a partir de una primera derivada, es decir, si se tiene una función f que es derivable, se puede formar una nueva función que se denota por f´ y se lee primera derivada de f, y así sucesivamentese pueden ir formando derivadas a partir de la anterior y se nombran segunda, tercera derivada de f, etc.

ejemplo








12. DERIVACION LOGARITMICA
se utiliza cundo la función tiene varios productos , varios cocientes y varios exponentes aplicando las propiedades de logaritmos:
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3.[pic]
Ejercicios Propuestos
01.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

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02.- Aplicando las reglas de derivación, calcula las siguientes derivadas:

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Ejercicio 1.
Hallar dy/dx o y’en la función [pic].

Solución

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Ejercicio 2.
Encontrar la derivada de [pic]

Solución

[pic].
Ejercicio 3.
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Solución
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Ejercicio 4.
[pic]...