Calculo

CÁLCULO III – (0253)
PRIMER PARCIAL (33.33%)
SECCIONES 01 Y 03 – 27/03/09
U.C.V.

F.I.U.C.V.

CICLO BÁSICO
DEPARTAMENTO DE
MATEMÁTICA
APLICADA

1. Una curva C está definida por

π πy = cos(x)
x∈ , 

4 2


22
 π

y=
x
x ∈ 0,  .

π
 4

2

2
π 
 x − π  + y2 = π
y ∈  − ,0 



4
16
4 

a. Parametrice la curva C en sentidoantihorario.
(2 puntos)
b. Usando la función vectorial r(t) del apartado anterior, construya la
función r'(t) • r''(t) .
(2 puntos)
2. Sea la curva
 t2
t
.
r(t) = 
,2
1 − t t − 1


a. Indique el cuadrante donde se encuentra la curva ∀t ∈ D(r) y determine
si presenta algún tipo de simetría.
b. Encuentre la ecuación de su asíntota oblicua.

(2 puntos)
(2 puntos)

3.Sea la curva r(t) = (3 cos(t), 4 cos(t),5sen(t)) .
a. Demuestre que r(t) es una curva plana y encuentre la ecuación del
plano que la contiene.
(2 puntos)
b. Encuentre la componente tangencial der'(t) y la componente binormal
de r''(t) .
(2 puntos)
4. Sean las ecuaciones en coordenadas polares
r = 6 + 4 cos(θ) y r =

4
.
1 − cos(θ)

a. Identifique y grafique cada curva en un mismosistema.
b. Calcule los puntos de intersección entre estas curvas.

(2 puntos)
(2 puntos)

5. Determine y grafique la función φ(α) > 0 tal que la curva


r(t) = 



0 0 tal que la curva
r(t) = 



∫

t

φ(α)sen(α)dα,
0

∫

t

φ(α) cos(α)dα,
0

∫

t

0


φ(α) tan(α)dα  , 0 < t <



π
2

tenga curvatura κ(t) = 1 + cos2 (t) .
SOLUCIÓN.
Paso1. Cálculo de r'(t),

r'(t) y r''(t) .

(1 punto)

r'(t) = (φ(t)sen(t), φ(t) cos(t), φ(t) tan(t)) = φ(t)(sen(t), cos(t), tan(t)) .
r'(t) = φ(t) sen2 (t) + cos2 (t) + tan2 (t) = φ(t) 1 + tan2(t) = φ(t) sec(t) .
r''(t) = φ(t)(cos(t), −sen(t), sec2 (t)) + φ '(t)(sen(t), cos(t), tan(t)) .
Paso 2. Cálculo de r'(t) × r''(t),

3

r'(t) × r''(t) y r'(t) .

(1 punto)

r'(t) × r''(t) =...