CALCULO

Continuidad de una función en un punto

Sean las siguientes funciones definidas analítica y gráficamente:
f : R - {-2} ® R g : R ® R
x ® x ®

h : R ® R m : R ® R
x ® x ® x - 2

Las funciones f y g son discontinuas en x = -2 mientras que las funciones h y m son continuas en x = -2.
Del análisis de estas funciones resulta que:

La funcióny = f(x) no está definida en x = –2. El límite de y = f(x) es –4 cuando x ® –2.



La función y = g(x) está definida en x = –2 de manera tal que g(-2) = -2. El límite de y = g(x) es igual a –4 cuando x ® –2 y puede observarse que el resultado de este límite no coincide con el valor de la función en el punto, es decir: g(–2) ¹ –4.



La función y = h(x) está definida en x = –2 ya que h(- 2) = -4.El límite de h(x) es -4 cuando x ® –2 y coincide con el valor de la función en x = –2.



Las función y = m(x) está definida en x = –2 dado que m(-2) = -4. El límite de m(x) es -4 cuando x ® –2 y coincide con el valor de la función en x = –2.


Definición 1. Una función y = f(x) es continua en x = a si {short description of image}.

Si la función y = f(x) no es continua en x = a, sedice que es discontinua en a, o que tiene una discontinuidad en a.


Definición 2. Se dice que la función y = f(x) es una función continua en x = a si se cumplen las siguientes condiciones:

a) existe f(a). Es decir, a pertenece al dominio de f.

b) existe

c)

Si alguna de estas condiciones no se cumple se dice que f es discontinua en x = a.



Ejemplo. Dadas las siguientes gráficasde funciones discontinuas en x = 5, enuncie y exprese simbólicamente la causa por la cual se produce la discontinuidad en dicho valor.
i)

ii)

iii) iv)

i) La discontinuidad se produce porque la función no está definida en x = 5, esto significa que el valor 5 está excluido del dominio de la función y existe el límite cuando x tiende a 5 y dicho límite vale 4.

ii) Existe la imagen de 5 y tambiénexiste el límite de la función cuando x tiende a 5 pero ambos son distintos.

f(5) ¹

iii) La discontinuidad se produce porque en x = 5 donde la gráfica presenta un salto finito. Existen los límites laterales cuando x tiende a 5 pero son distintos.



En consecuencia, no existe el límite de y = f(x) cuando x ® 5.

Sin embargo existe la imagen de 5 y es 3, es decir, f(5) = 3.iv) La gráfica presenta en este caso una discontinuidad en x = 5. Cuando x tiende a 5 por derecha la función decrece indefinidamente y cuando x tiende a 5 por izquierda la función crece indefinidamente. El salto es infinito.

Simbólicamente: y .

No existe el límite de y = f(x) cuando x ® 5. Además se observa que no está definida la función en de x = 5, es decir, 5 no pertenece al dominio de lafunción.



Ejemplo. Sea la función f : R ® R / x ® . Determine los valores de a y b para que resulte continua en x = 2 y en x = 5. Para dichos valores grafique la función.

Para que la función resulte continua en x = 2 debe verificarse que:

Þ 22 + a = 2 + 2b Þ a - 2b = -2

También en x = 5 debe verificarse que:

Þ 5 + 2b = 16 + 10a Þ - 10a + 2b = 11

Ambas igualdades se deben verificarsimultáneamente, es decir: .

Resolviendo el sistema se obtiene a = -1 y b = {short description of image}.

Para dichos valores, la función resulta f : R ® R / x ®

Su gráfica es:




Teorema. Si f y g son funciones continuas en x = a entonces las siguientes funciones también resultan continuas en a:

la suma f + g,
la diferencia f - g,
el producto c.f, donde c es una constante,
el productof.g,
el cociente {short description of image} siempre que g(a) ¹ 0.
Teorema. Toda función polinomial pn(x) = es una función continua en todo su dominio, es decir en todo número real.



Teorema. Toda función racional fraccionaria o cociente de polinomios es continua, excepto en los puntos que anulan el denominador, es decir, si f(x) = entonces f es continua para todo valor de x, excepto en...