calculos

CAP´
ITULO IV.
CONTINUIDAD DE
FUNCIONES

SECCIONES
A. Definici´n de funci´n continua.
o
o
B. Propiedades de las funciones continuas.
C. Ejercicios propuestos.

121

´
´
A. DEFINICION DE FUNCION CONTINUA.

Una funci´n y = f (x) se dice continua en un punto x = c cuando existe el
o
l´
ımite de la funci´n en el punto x = c y dicho l´
o
ımite es f (c).
Esta definici´n da lugara tres condiciones que debe cumplir la funci´n para
o
o
ser continua en c:
a) c est´ en el dominio de la funci´n.
a
o
b) existe l´ f (x) (es decir, los l´
ım
ımites laterales son finitos e iguales).
x→c

c) l´ f (x) = f (c).
ım
x→c

Esto quiere decir que para que una funci´n sea continua no basta que tenga
o
l´
ımite, sino que adem´s dicho l´
a
ımite tiene que coincidir con elvalor de la
funci´n en el punto correspondiente.
o
Las funciones que no son continuas se llaman discontinuas. Hay varios tipos
de discontinuidad dependiendo de la condici´n que no se cumple.
o
A) Discontinuidad evitable: Corresponde al caso en que la funci´n tiene
o
l´
ımite pero no coincide con el valor f (c). Se llama evitable porque
basta definir f (c) como el l´
ımite de la funci´nen c para que la funci´n
o
o
sea ahora continua.
B) Discontinuidad de primera especie: Puede ser de salto finito cuando
existen los dos l´
ımites laterales pero son distintos, o de salto infinito
cuando alguno de los l´
ımites laterales es infinito.
C) Discontinuidad esencial o de segunda especie: Si alguno de los dos l´
ımites
laterales no existe.
Las operaciones algebraicas con funcionescontinuas dan como resultado
nuevas funciones continuas, salvo en la divisi´n por cero y las ra´
o
ıces de
´
ındice par de funciones que toman valores negativos.

PROBLEMA 4.1.

Estudiar la continuidad de la funci´n f (x) =
o

122

x + |x|
.
2

Soluci´n
o
Esta es una funci´n algebraica s´lo que el valor absoluto hace que cambie
o
o
la forma de la funci´n en el punto x = 0.Esto quiere decir que si x = 0, la
o
funci´n es continua.
o
Para estudiar el comportamiento de la funci´n en x = 0, debemos calcular
o
los l´
ımites laterales.
x + |x|
2
x + |x|
l´
ım
2
x→0+

x−x
= 0,
2
x+x
= l´
ım
= 0,
+
2
x→0

l´
ım

=

x→0−

l´
ım

x→0−

lo que indica que la funci´n tambi´n es continua en x = 0.
o
e
Podemos comprobar este resultadodibujando la gr´fica de la funci´n. Esta
a
o
es de la forma:
Y

y=x

y=0

X

PROBLEMA 4.2.

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones indicando los
puntos de discontinuidad:
a) f (x) = [x2 ].
√
b) f (x) = [ x].
c) f (x) = [2x].
d) f (x) =

[x].

e) f (x) =

x − [x].

f) f (x) = [x] + [−x].

123

Soluci´n
o

Sabiendo que la parte entera s´lo es discontinuaen los enteros, los puntos
o
de discontinuidad son, respectivamente:
√
a) x2 = n ⇐⇒ x = ± n con n ∈ N. (En x = 0 la funci´n es continua.)
o
√
b) x = n ⇐⇒ x = n2 con n = 0, 1, . . .
c) 2x = n ⇐⇒ x = n/2 con n ∈ Z.
d) Como el dominio de la funci´n es [0, ∞), los puntos de discontinuidad
o
son los enteros positivos.
e) Como x − [x] ≥ 0 para todo x, los puntos de discontinuidad son x ∈ Z.f) Si n es cualquier n´mero entero, los l´
u
ımites laterales son
l´ [x] + [−x] = n − 1 + (−n) = −1; l´ [x] + [−x] = n + (−n − 1) = −1.
ım
ım

x→n−

x→n+

Como f (n) = 0 = −1, la discontinuidad es evitable en todo Z.

PROBLEMA 4.3.

Estudiar la continuidad de las funciones:
1
.
+1
1
b) f (x) = 2
.
x −1

a) f (x) =

x2

Soluci´n
o

a) Como 1 + x2 = 0 no tiene ra´ıces reales, la funci´n es continua en todo
o
R.
b) Como la ecuaci´n x2 − 1 = 0 tiene ra´
o
ıces x = 1 y x = −1, la funci´n es
o
1
1
continua en R\{−1, 1}. Adem´s, como l´
a
ım
= l´
ım
= ∞,
x→1 x2 − 1
x→−1 x2 − 1
la funci´n presenta discontinuidades de primera especie infinitas en los
o
puntos x = −1 y x = 1.
124

PROBLEMA 4.4.

Estudiar la continuidad de las funciones
1...