Cap 7
Páginas: 23 (5610 palabras)
Publicado: 3 de diciembre de 2010
CA PÍTULO VII
GEOMETRÍA DEL ESPACIO
105
GEOMETRÍA DEL ESPACIO Definición: Es la parte de la geometría que estudia las propiedades de las figuras y sólidos geométricos cuyos elementos no están en un mismo plano. Espacio. Es el lugar donde están contenidos todos los sólidos geométricos. Plano. Término no definido. Intuitivamente se considera formado por infinitos puntos. Pararepresentarlo utilizamos un paralelogramo.
C A B D
M
M
Determinación de un plano 1. Un plano está determinado por una recta y un punto exterior a ella. •
2. Por tres puntos no situados en una misma recta. • 3. Por dos rectas que se cortan. • •
4. Por dos rectas paralelas
Posiciones relativas de dos planos Dos planos en el espacio pueden ser: a.- Secantes. Su intersección es una recta. 106
b.- Paralelos
Posiciones de una recta y un plano a.- La recta está contenida en el plano.
b.- La recta atraviesa el plano.
Postulado: Si dos planos diferentes se cortan, su intersección es un lía recta.
Teorema uno Si un plano interseca a dos planos paralelos, entonces su intersección son dos rectas paralelas. P1 L1 P3 L2 P2
107
Hipótesis P1 P2 P3 Plano secante. Tesis L2L1 Demostración 1.- P3 corta a P1 en L1 2.- P3 corta a P2 en L2 3.- L2 y L1 están en un mismo plano y no tienen puntos comunes, porque P1 y P2 son paralelos por hipótesis. 4.- Por lo tanto L2 paralela a L1
POLIEDROS
Definiciones Se llama poliedro un cuerpo o sólido geométrico, limitado por superficies planas. Las superficies que limitan el sólido se llaman caras del poliedro. Los lados de lascaras se llaman aristas y las intersecciones de las aristas se llaman vértices. Angulo diedro de un sólido es el ángulo formado por dos caras concurrentes en una arista. Ángulo Poliedro Se llama ángulo poliedro a la figura formada por varios ángulos planos que concurren a un mismo punto. Diagonal de un poliedro es un segmento de recta que une dos vértices situados en distinta cara. Poliedrosregulares Un poliedro es regular si sus caras son polígonos regulares y sus ángulos poliedros son iguales. Existen únicamente cinco poliedros regulares que están limitados por triángulos equiláteros; cuadrados, o pentágonos regulares.
108
El Tetraedro regular
A
Procedimiento para construirlo Dibuje un triángulo equilátero, A, de cualquier longitud por lado y sobre cada lado de estetriángulo construya otro triángulo equilátero congruente con el primero. Trace las pestañas como se indica en la figura; recorte y pegue para obtener el tetraedro. Cuente el número de: vértices, caras, aristas. ¿Qué aplicaciones prácticas podemos indicar? El tetraedro está limitado por cuatro triángulos equiláteros, unidos de tres en tres. En este sólido cada uno de los ángulos poliedros mide 1800 Tiene: 4caras, 6 aristas y 4 vértices. El Octaedro regular: Que está limitado por ocho triángulos equiláteros, unidos de cuatro en cuatro. En este sólido cada uno de los ángulos poliedros mide 2400. Tiene: 8 caras, 12 aristas y 6 vértices. El Icosaedro regular: Que está limitado por veinte triángulos equiláteros, unidos de cinco en cinco. Cada ángulo poliedro mide 3000. Tiene: 20 caras, 30 aristas y 12vértices. El Hexaedro o cubo
1 2 3
109
Procedimiento para construirlo. - Construya seis cuadrados, elabore pestañas en los cuadrados, 1; 2; 3, como se indica en la figura. Recorte y tome cualquier cuadrado como base, para formar el cuerpo o sólido geométrico denominado hexaedro o cubo. Cuente los vértices, sus aristas, calque una cara, ¿Qué figura obtiene? Indique al menos dos aplicacionesprácticas. El cubo está limitado por seis cuadrados unidos de tres en tres. Cada ángulo poliedro mide 270 0. Tiene: 6 caras, 12 aristas y 8 vértices. El Dodecaedro regular: Que está constituido por doce pentágonos unidos de tres en tres. Cada ángulo poliedro mide 324 0. Tiene: 12 caras, 30 aristas y 20 vértices.
PRISMA
A C C D
F V E
H
Definiciones Se llama prisma el poliedro que...
GEOMETRÍA DEL ESPACIO
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GEOMETRÍA DEL ESPACIO Definición: Es la parte de la geometría que estudia las propiedades de las figuras y sólidos geométricos cuyos elementos no están en un mismo plano. Espacio. Es el lugar donde están contenidos todos los sólidos geométricos. Plano. Término no definido. Intuitivamente se considera formado por infinitos puntos. Pararepresentarlo utilizamos un paralelogramo.
C A B D
M
M
Determinación de un plano 1. Un plano está determinado por una recta y un punto exterior a ella. •
2. Por tres puntos no situados en una misma recta. • 3. Por dos rectas que se cortan. • •
4. Por dos rectas paralelas
Posiciones relativas de dos planos Dos planos en el espacio pueden ser: a.- Secantes. Su intersección es una recta. 106
b.- Paralelos
Posiciones de una recta y un plano a.- La recta está contenida en el plano.
b.- La recta atraviesa el plano.
Postulado: Si dos planos diferentes se cortan, su intersección es un lía recta.
Teorema uno Si un plano interseca a dos planos paralelos, entonces su intersección son dos rectas paralelas. P1 L1 P3 L2 P2
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Hipótesis P1 P2 P3 Plano secante. Tesis L2L1 Demostración 1.- P3 corta a P1 en L1 2.- P3 corta a P2 en L2 3.- L2 y L1 están en un mismo plano y no tienen puntos comunes, porque P1 y P2 son paralelos por hipótesis. 4.- Por lo tanto L2 paralela a L1
POLIEDROS
Definiciones Se llama poliedro un cuerpo o sólido geométrico, limitado por superficies planas. Las superficies que limitan el sólido se llaman caras del poliedro. Los lados de lascaras se llaman aristas y las intersecciones de las aristas se llaman vértices. Angulo diedro de un sólido es el ángulo formado por dos caras concurrentes en una arista. Ángulo Poliedro Se llama ángulo poliedro a la figura formada por varios ángulos planos que concurren a un mismo punto. Diagonal de un poliedro es un segmento de recta que une dos vértices situados en distinta cara. Poliedrosregulares Un poliedro es regular si sus caras son polígonos regulares y sus ángulos poliedros son iguales. Existen únicamente cinco poliedros regulares que están limitados por triángulos equiláteros; cuadrados, o pentágonos regulares.
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El Tetraedro regular
A
Procedimiento para construirlo Dibuje un triángulo equilátero, A, de cualquier longitud por lado y sobre cada lado de estetriángulo construya otro triángulo equilátero congruente con el primero. Trace las pestañas como se indica en la figura; recorte y pegue para obtener el tetraedro. Cuente el número de: vértices, caras, aristas. ¿Qué aplicaciones prácticas podemos indicar? El tetraedro está limitado por cuatro triángulos equiláteros, unidos de tres en tres. En este sólido cada uno de los ángulos poliedros mide 1800 Tiene: 4caras, 6 aristas y 4 vértices. El Octaedro regular: Que está limitado por ocho triángulos equiláteros, unidos de cuatro en cuatro. En este sólido cada uno de los ángulos poliedros mide 2400. Tiene: 8 caras, 12 aristas y 6 vértices. El Icosaedro regular: Que está limitado por veinte triángulos equiláteros, unidos de cinco en cinco. Cada ángulo poliedro mide 3000. Tiene: 20 caras, 30 aristas y 12vértices. El Hexaedro o cubo
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Procedimiento para construirlo. - Construya seis cuadrados, elabore pestañas en los cuadrados, 1; 2; 3, como se indica en la figura. Recorte y tome cualquier cuadrado como base, para formar el cuerpo o sólido geométrico denominado hexaedro o cubo. Cuente los vértices, sus aristas, calque una cara, ¿Qué figura obtiene? Indique al menos dos aplicacionesprácticas. El cubo está limitado por seis cuadrados unidos de tres en tres. Cada ángulo poliedro mide 270 0. Tiene: 6 caras, 12 aristas y 8 vértices. El Dodecaedro regular: Que está constituido por doce pentágonos unidos de tres en tres. Cada ángulo poliedro mide 324 0. Tiene: 12 caras, 30 aristas y 20 vértices.
PRISMA
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Definiciones Se llama prisma el poliedro que...
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