Capitulo II, Limites

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

Capítulo II Límites y Continuidad
INTRODUCCIÓN
El concepto de límite, después del de función, es el
fundamento matemático más importante que ha cimentado
los estudios y solución de problemas que se presentan, a
través de la utilización de la ciencia matemática como
herramienta del ingenio humano. Este concepto, junto con el
decontinuidad, conforman una pareja indisoluble, tal que
para que ésta exista, debe existir aquél.
ENTORNO O VECINDAD
Definición. Sea un punto x0 en el eje " x " . Una vecindad o
entorno de x0 es el conjunto de puntos del eje " x " que
satisfacen la desigualdad:
x0 − δ < x < x0 + δ
donde a " δ " se le conoce como la semiamplitud o radio de
la vecindad. A esta vecindad se le acostumbra denotar
comov ( x0 ,δ ) . Cabe hacer notar, como lo indica la
desigualdad antes señalada, que una vecindad es un
intervalo abierto.
Gráficamente, esto puede expresarse como sigue:

x0 − δ

δ

x0

δ

x0 + δ

x

Se puede escribir en términos de valor absoluto como:
x0 − δ < x < x0 + δ
−δ < x − x0 < δ
x − x0 < δ

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

2

Si a la desigualdad anterior se le añadela condición
adicional de que el valor absoluto sea estrictamente mayor
que cero, se tiene:
0 < x − x0 < δ
Se excluye a
de su propio entorno o vecindad,
x0
llamándole entonces a éste o ésta, “entorno reducido” o
“vecindad agujerada”.
EJEMPLOS
Simbólicamente, si al ser humano se le denota con " H " , con
" n " al número de actos de humanidad y con " P " a la
perfección, entonces se puedeescribir que:
lim H = P
n→∞

Analogía de una célebre paradoja del famoso científico
griego Zenón de Elea: A un ingeniero se le pide que realice
un levantamiento geológico de un camino recto de longitud
" L " , que unirá dos puntos A y B . Este individuo se traza como
plan de trabajo el siguiente: “cada día estudiaré la mitad de
lo que me falte”.
L

A

10

20

30

4 05 0 B

LL L L
L
+ + +
+
2 4 8 16 32
lim S = L
n→∞

Considérese un polígono regular con " n " lados y cuya área
es " a " . Dicho polígono está inscrito en un círculo cuya área
es " c " .
lim a = c
n→∞

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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Área del

Área del
Círculo="c"

Polígono="a"
(n=8)

1
y véase qué sucede si se hace
n
crecer indefinidamente el valor " n " partiendo del valor“uno”.

Considérese el cociente

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

n
1
n

0.5

0.33

0.25

0.2

0.17

0.14

0.13

0.11

0.1

Se construye una gráfica con estos valores y se tiene:
1
n
1

1

3

2

4

5

6

7

8

9

10

n

1
= y , entonces se tiene que:
n
1
y=
; x ∈ ⎡1 ∞ )
⎣,
x
que representa una porción de la hipérbolaequilátera ya
tratada en el primer tema. Así, se puede escribir que:
1
lim = 0
x→ ∞ x
Si se hace n = x

y

Ejemplo con una función en la que la variable independiente
tiende a un valor finito:
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

4
2

x
+ 1 definida en el intervalo
2
x ∈ ⎡0,4 ⎤ y supóngase que se desea conocer el límite de la
⎣ ⎦
función cuando la variable " x " tiende al valor " 2 ". La
gráfica de la función en el intervalo considerado se tiene en
la siguiente figura, en la cual se observa que cuando la
variable " x " se aproxima al valor " 2 " , la variable " y " se
aproxima al valor " 3 " . A continuación se analizará esta
situación con más detenimiento, tomado como base la
gráfica considerada.
y
y = f ( x) =

Sea la función

9
8
7

x2
f ( x) =
+1
26

5

4

3
2
1

1

2

3

4

x

⎛ x2 ⎞
lim ⎜ + 1⎟ = 3
x →2
⎝ 2
⎠

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

5

DEFINICIÓN. Una función f tiene límite L cuando la
variable independiente x ∈ Df tiende a un valor " a " y se
escribe como
lim f ( x ) = L
x →a

si la función está en el interior de una vecindad de L con
radio ε > 0 tan pequeño como se desee, siempre que x...