Carta Smith

Líneas de Transmisión Carta de Smith

A. Zozaya 30 de noviembre de 2007
Resumen En este documento se describe brevemente como se construye la Carta de Smith. Sobre los orígenes de esta carta se recomienda leer la Referencia [1].

1.

Introducción

E
2.

l coeficiente de reflexión ΓL en los terminales de carga de una línea de transmisión es un número complejo cuyo módulo no supera launidad para terminaciones pasivas. En efecto, llamando rN + xN la impedancia de carga normalizada: rN + xN = ZL /ZC , donde rN = {ZL }/ZC y xN = {ZL /ZC} , se comprueba que |ΓL | = rN + xN − 1 ≤1 rN + xN + 1 (1)

de esta suerte, el sector circular del plano complejo definido por la variable compleja ΓL = u + v, tal que |ΓL| ≤ 1, debe contener todo los valores complejos de ΓL correspondientes atodos los valores posibles de impedancia normalizada rN + xN .

Construcción del Diagrama de Smith

Las impedancia normalizada rN + xN barre todo el plano complejo. Allí, los lugares geométricos equi-rN y equi-xN son simplemente rectas paralelas a los ejes real e imaginario, 1

respectivamente. Ese mismo plano complejo es barrido por el coeficiente de reflexión ΓL = u + v . Sin embargo,como entre ambas variables complejas existe la relación ΓL = u + v = rN + xN − 1 rN + xN + 1 (2)

si los valores de impedancia normalizada (rN , xN ) se expresan en función de ΓL : rN = rN (u, v) y xN = xN (u, v), los lugares geométricos rectilíneos equirN y equi-xN , en el dominio (rN , +xN ), se transforman en circunferencias en el plano complejo de la varible (u + v)1. Una ilustracióngráfica de esta trasnformación se muestra en la Fig. 1. La Carta o Diagrama de Smith se Figura 1: Transformación de Mobius (tomada de obtiene, precisamente, trazando algunos http://na.tm.agilent.com). de los lugares geometricos de rN y xN en el plano complejo de la variable u + v, utilizando como base la Ec. 2. Para ello se sugiere seguir los pasos siguientes [1]. Multiplicar en cruz: (u + v)(rN + 1 +xN ) = rN + xN − 1 igualar parte real y parte imaginaria u(rN + 1) − vxN = rN − 1 v(rN + 1) + uxN = xN ordenar y factorizar los términos rN y xN (u − 1)rN − vxN = −(1 − u) vrN + (u − 1)xN = −v con este par de ecuaciones se procede a eliminar una vez xN y otra vez rN , ordenando los términos restantes en potencias descendientes de u y v, respectivamente 1 − rN 2rN u + v2 = rN + 1 rN + 1 2 v = −1 u2− 2u + v 2 − xN u2 −
1

Ésta se conoce como transformación lineal de Mobius [2]

2

finalmente se procede a completar los cuadrados2 correspondientes en cada ecuación u− rN rN + 1
2

+ v2 = 1 xN
2

1 (rN + 1)2 1 xN
2

(3) (4)

(u − 1)2 + v −

=

2.1.

Lugar geométrico de la resistencia normalizada rN = rN (u, v)

La Ecuación (3) representa la familia de los lugaresgeométricos de todos los valores posibles de rN en el subespacio complejo barrido por las variables u y v. En particular, se r observa que la Ec. (3) representa una familia de circunferencias centradas en rNN , 0 y de +1 radio rN1+1 . En el Cuadro 1(a) se muestran los valores de las coordenadas del centro y del radio de algunos miembros de esta familia de círculos. Cuadro 1: Algunos valores de coordenadasdel centro y del radio de algunos miembros de las familias de círculos equi-rN y equi-xN .
(a) rN (b) xN

rN uC vC 0 0 0 1/7 1/8 0 1/3 1/4 0 1 1/2 0 3 3/4 0 7 7/8 0 15 15/16 0 u−
rN rN +1 2

radio 1 7/8 3/4 1/2 1/4 1/8 1/16
1 (rN +1)2

xN 0 1/5 −1/5 ±1/2 ±1 ±2 ±5

uC 1 1 1 1 1 1 1

vC ∞ 5 −5 ±2 ±1 ±1/2 ±1/5
1 xN 2

radio ∞ 5 5 2 1 1/2 1/5 =
1 xN 2

+ v2 =

(u − 1)2 + v −2.2.

Trazado del lugar geométrico equi-rN

Para trazar el locus de algún valor de rN es conveniente «retocar» la Ec. (3) seleccionando, a conveniencia, una de las variables u y v como independiente y la restante como dependiente, y fijando rN como parámetro. Luego, definiendo un intervalo de valores para la variable
2

Dado x2 +bx+c = 0, el cuadrado se completa sumando − c.

b 2 2...