Cartas de control multivariante

CARTAS DE CONTROL DE CALIDAD MULTIVARIANTE

CARTAS DE CONTROL:
Las cartas de control son la herramienta más poderosa para analizar la variación en la mayoría de los procesos.
La idea básica de una carta de control es “observar y analizar gráficamente el comportamiento sobre el tiempo de una variable, de un producto, o de un proceso, con el propósito de distinguir en tal variable susvariaciones debidas a causas comunes de las debidas a causas especiales (atribuibles)”
El uso adecuado de las cartas de control permitirá detectar cambios y tendencias importantes en los procesos.
Pero en los procesos de producción actuales, para controlar la calidad de los productos es necesario vigilar más de una característica simultáneamente. Una primera posibilidad sería aplicar técnicas de controlde calidad univariantes de forma independiente. Sin embargo, sería imposible controlar el efecto de las interacciones entre las diversas variables así como su variación a lo largo del tiempo; en términos estadísticos, se estaría obviando la información contenida en las covarianzas y su estabilidad.
Además, el uso de acompañar varios gráficos univariantes altera el nivel de confianza de losgráficos de control.
Una técnica para monitorear un proceso en base en la media de varias variables involucra el usos de la estadística χ2 o de la estadística T2.
HIPOTESIS
H0: El proceso esta bajo control estadístico.
H1: El proceso esta fuera de control estadístico.

CASO 1:
Sea X un vector aleatorio de p-medidas sobre las cuales se quiere hacer un control estadístico. Si se asume que Xtiene una media objetivo m y una matriz de varianzas y covarianzas conocida Σ, entonces:
* ESTADISTICA DE PRUEBA
χobs2=X-m'Σ-1(X-m) ~ χ(p)2
* LIMITES DE CONTROL
LCS = χ(α,p)2
LCI = eje horizontal
CASO 2:
Cuando la matriz de varianzas y covarianzas Σ es desconocida.
CASO 2.1: n=1
Si se usa un vector de observaciones individuales.
* ESTADISTICA DE PRUEBA
T2=X-m'S-1(X-m)~T(p,k-1)2
* LIMITES DE CONTROL
LCS =T(α,p,k-1)2 ó p(n-1)n-p * F(α,p,n-p)
LCI = no es necesario pues T2 ≥ 0

CASO 2.2:
Si se usa un vector de medias X de una muestra de tamaño n.
* ESTADISTICA DE PRUEBA
Tk2=nXk-m'Sp-1(Xk-m) ~T(p,k(n-1))2
Donde:
Sp= i=1kSi/k
* LIMITES DE CONTROL
LCS =T(α,p,k-1)2 ó p(n-1)n-p * F(α,p,n-p)
LCI = no es necesario pues T2 ≥ 0Ejemplo:
La resistencia a la tensión y el diámetro de una fibra textil son dos importantes características de control, sujetas a un control conjunto. Se dispone de 20 muestras de n=10 madejas de fibra para construir el diagrama de control de T2. Las medias, varianzas y covarianzas de la muestras se encuentran en la siguinte tabla:
Numero de lamuestra (k)  | Resistenciaa la tensiónX1 |DiámetroX2 | S²1k | S²2k | S12k |
1 | 115,25 | 1,04 | 1,25 | 0,87 | 0,8 |
2 | 115,91 | 1,06 | 1,26 | 0,85 | 0,81 |
3 | 115,05 | 1,09 | 1,3 | 0,9 | 0,82 |
4 | 116,21 | 1,05 | 1,25 | 0,85 | 0,81 |
5 | 115,9 | 1,07 | 1,16 | 0,73 | 0,7 |
6 | 115,55 | 1,06 | 1,21 | 0,8 | 0,76 |
7 | 114,98 | 1,05 | 1,25 | 0,78 | 0,75 |
8 | 115,25 | 1,1 | 1,2 | 0,83 | 0,8 |
9 | 116,15 | 1,09 | 1,19 | 0,87 | 0,83|
10 | 115,92 | 1,05 | 1,17 | 0,86 | 0,84 |
11 | 115,75 | 0,99 | 1,22 | 0,79 | 0,78 |
12 | 114,9 | 1,06 | 1,24 | 0,82 | 0,81 |
13 | 116,01 | 1,05 | 1,26 | 0,75 | 0,72 |
14 | 115,83 | 1,07 | 1,17 | 0,76 | 0,75 |
15 | 115,29 | 1,11 | 1,23 | 0,89 | 0,82 |
16 | 115,63 | 1,04 | 1,24 | 0,91 | 0,83 |
17 | 115,47 | 1,03 | 1,2 | 0,85 | 0,8 |
18 | 115,58 | 1,05 | 1,18 | 0,83 | 0,79 |
19| 115,72 | 1,06 | 1,31 | 0,79 | 0,76 |
20 | 115,4 | 1,04 | 1,29 | 0,85 | 0,78 |
medias | 115.5875 | 1.058 | 1.229 | 0.829 | 0.788 |

Desarrollo:
1. Hipótesis:
H0: El proceso esta bajo control estadístico.
H1: El proceso esta fuera de control estadístico.
2. Significancia: α = 0.05
3. n=10
k=20
p=2

4. Matriz de varianzas y covarianzas Sp
Sp = 1,2290,7880,7880,829...