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Arturo Quirantes Sierra -Apuntes de Física Arturo Quirantes Sierra - Apuntes de Física

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INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA Y ANÁLISIS VECTORIALES

1 - Magnitudes vectoriales. 2 - Operaciones vectoriales algebraicas. 3 - Momentos de un vector. 4 - Sistema de coordenadas. 5 - Introducción al análisis vectorial. 6 - Cambios del sistema de referencia.

1 - Magnitudes vectoriales. Existen magnitudescuyas cantidades se determinan dando un solo dato numérico algebraico, como por ejemplo, la temperatura de un punto del espacio o la masa de un cuerpo; se suele llamar escalar a tal dato. Pero a menudo, un solo dato numérico no basta para especificar una sola cantidad, fundamentalmente debido a que dicha magnitud tiene una cualidad de direccionalidad; así, para determinar el efecto de una fuerzasobre un cuerpo no basta con dar la intensidad de dicha fuerza, sino que es necesario especificar en qué dirección y sentido se aplica, ya que éstos determinarán el resultado final. Es necesario, pues, dar información adicional sobre la entidad fuerza. Para especificar entes asociados a una idea de dirección se utilizan entes llamados vectores. La definición más general de vector engloba un conjuntode propiedades generales que pueden ser cumplidas por gran tipo de entidades (desde rayas orientadas en un papel a funciones integrables de variable real), por lo que nos centraremos en la idea tradicional de vector como algo representado por un segmento orientado. En un espacio tridimensional ordinario (euclideo), un vector queda caracterizado por su dirección, sentido y módulo. Dirección es lacaracterística de direccionalidad dada por una recta (distintas rectas no paralelas señalan distintas direcciones; dos rectas paralelas indican la misma dirección), sentido es cada una da las dos posibilidades de movimiento en una recta, y módulo es la longitud del segmento. La velocidad, por ejemplo, viene dada por un vector; si suponemos desplazamientos rectos, la dirección indica el tipo detrayectoria que se efectúa (MadridValencia, Jaén-Motril, etc), el sentido indica hacia dónde se va (de Jaén a Motril, o de Motril a Jaén), y el módulo indica la rapidez con que nos movemos; como puede verse, el velocímetro de un coche es, en realidad, solamente el "modulímetro", puesto que indica el módulo de la velocidad. Es importante diferenciar los conceptos de dirección y módulo que, a menudo, ypor abuso de lenguaje, se interpretan como sinónimos: el propio código de la circulación habla de "dirección única", cuando el término preciso es el de "sentido único" (buen argumento a la hora de recurrir una multa).

Introducción al Álgebra y Análisis vectoriales

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Para que dos vectores sean iguales (equipolentes, según la terminología matemática al uso), han de tener igual dirección,sentido y módulo. Esto es estrictamente cierto para los llamados vectores libres. Los vectores deslizantes, por contra, exigen que no solamente la dirección, sino la recta en la que se apoyan, sean la misma. Dos vectores paralelos pero que yazcan en rectas distintas serán iguales si son libres, no si son deslizantes. En lo que sigue, y mientras no se advierta de lo contrario, se suponen que losvectores que vamos a utilizar serán libres. Las magnitudes vectoriales vienen representadas tradicionalmente por letras en negrita: a, C... El módulo de un vector viene dado por el vector encerrado entre barras, o bien como una letra sin negrita: A = *A*. A veces, en especial si estamos interesados en su representación gráfica, se denota un vector dando sus puntos extremos: un vector que tiene suorigen en M y acaba en N puede venir dado por A = MN. Un vector MM es igual al vector cero, y tiene módulo nulo; se representa por 0. Los vectores que tienen módulo igual a la unidad se denominan vectores unitarios o versores. Un vector unitario se representa, por lo general, con un acento circunflejo (existen otras posibilidades) â. De vector cualquiera puede obtenerse un vector unitario...