castellano

1. Dada la matriz:
A=
-2
3
0
0
1
4
0
0
1

Obtenga sus valores y vectores propios. ¿Es diagonalizable?

Respuesta: los valores propios son las raíces del polinomio característico y losvectores propios son es subespacio afín asociado a cada valor propio.
Se llama polinomio característico de A al
polinomio P(x) = det(Xn − A), donde Xn es la matriz diagonal de variable x deorden nxn. En este caso n=3 asi que el polinomio caracteristico es
P(x)=det(X3-A) donde
X3-A=
x+2
3
0
0
x-1
4
0
0
x-1
Luego aplicando el método de Sarrus tenemos P(x)= (x+2)(x-1)(x-1)así que los autovalores de A son 2 y 1. x=2 tiene multiplicidad algebraica 1 y x=1 tiene multiplicidad algebraica 2.
Veamos si A es diagonalizable, para esto tenemos que verificar para cada valorpropio λ, se verifica dim(H(λ)) = m(λ). donde H(λ) es el subespacio de autovectores asociado a λ y m(λ) es la multiplicidad algebraica de λ.
Ahora buscamos los subespacios afín asociados a x=2 y x=1respectivamente.
Para x=1, el subespacio afín asociado es
H(1)={(x,y,z) en R3 talque A(x,y,z)=1(x,y,z)}
={(x,y,z) en R3 talque (-2x,3x+y,4y+z)=(x,y,z)}
={(x,y,z) en R3 talque(-3x,3x,4y)=(0,0,0)}
={(x,y,z) en R3 talque x=0,y=0 z queda libre}
asi que una base para H(1) es {(0,0,1)} luego dim(H(1)) =1 es menor que la multiplicidad de 1, asi que A no es diagonalizable.
2.Dada la siguiente matriz
A=
a
0
0
4
1
4
1
0
2



a) Analice cuándo no es diagonalizable. En tal caso, determine la forma canónica de
Jordan e indique los sistemas que habría queresolver para obtener los vectores que
forman la matriz de paso.
b) ¿Cuándo se dice que dos matrices A y B son semejantes? ¿Qué significa que una matriz
sea diagonalizable?
respuesta:
Primero larespuesta de la pregunta b) Sean A, B matrices de orden nxn . Se dice que A y B son semejantes, y se nota A ∼ B, si existe una matriz C de orden nxn invertible tal que A = C.B.D donde D es la inversa...