Catenaria

L A CATENARIA EN  A RQUITECTURA  

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Susana de Zárraga Mata

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de densidad uniforme y perfectamente flexiblesujeta por sus dos extremos y que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud (figura 1).

Figura 1: Catenaria

Historia de la catenaria
A lo largo de la historia, los matemáticos se mostraronfascinados por la forma que adoptaba una cuerda o cadena que se combaba bajo su propio peso e intentaron descubrir cual era la curva que la describía. Así, por ejemplo, ya en los libros de notas de Leonardo da Vinci podemos encontrar esquemas de cadenas colgando. La prueba de que la resolución del problema no era nada fácil la tenemos en que un hombre de la talla intelectual de Galileo erró en su soluciónpuesto que en 1638 publicó, en sus Diálogos sobre dos nuevas ciencias, que la cadena asumiría la forma de una parábola. Cierto que 2

cuando realizó los experimentos que le llevaron a tal conclusión, el sabio de Pisa tenía ya 74 años y se encontraba casi ciego. Sin embargo hoy sabemos que aunque el trazado de la parábola se asemeja mucho al trazado de la catenaria, ambas curvas son diferentespues mientras la parábola está descrita por una ecuación cuadrática, en la expresión de la catenaria se involucran funciones hiperbólicas En 1669 el matemático alemán Joachin Jungius fue capaz de demostrar que una cadena colgante no adoptaba una forma de parábola pero fue necesario que pasara casi medio siglo tras la muerte de Galileo, en 1642, para encontrar la solución verdadera. En 1690 el suizoJakob Bernoulli propone un desafío en la prestigiosa Acta Eruditorum, descubrir la fórmula matemática que definiera la verdadera forma de la curva de la cadena colgante. La respuesta no tardo en llegar y en 1691 la ecuación fue obtenida, de forma independiente, por su hermano menor Johann Bernoulli, con el que tenía gran rivalidad, y por Gottfried Leibniz y Chistiaan Huygens en 1691.

Figura 2:Soluciones remitidas por Leibniz y Huygens a Bernouille para su publicación en Acta Eruditorum (1691)

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Fue también durante el transcurso de estas investigaciones cuando Huygens emplea por primera vez el término catenaria para designar a esta familia de curvas en una carta dirigida a Leibnitz. Este término que deriva del latín catena, cuyo significado es cadena, se ha impuesto a otrossinónimos como curva funicular o chainette. Es curioso reseñar que, como se puede deducir del examen de su correspondencia con Mersenne, un jovencísimo Huygens, ya había mostrado interés en el problema de la forma que adoptaba la cadena colgante pero, en ese momento, con sólo 17 años, fue incapaz de resolverlo aunque si pudo solucionar un problema relacionado, ¿cómo se deben colgar pesos en la cuerdapara que adquiriera una forma parabólica? En el mismo año en que el problema fue resuelto, 1691, David Gregory escribió, uno de los primeros tratados sobre esta familia de curvas y más tarde, en 1744, Leonhard Euler demostró que la catenaria es la curva que, rotada sobre el eje x produce una forma tridimensional que fue tras el plano, la primera superficie mínima descubierta, el catenoide.Figura 3: Catenoide

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Descripción matemática
La ecuación de la catenaria tomando su mínimo en el punto (0,h) es:

Figura 4:Representación gráfica de curvas catenarias (h es un parámetro que regula la apertura de la curva)

Se puede deducir la ecuación de la catenaria según el siguiente dibujo:

T.cosθ = T0, T.senθ = w.s(x)
dy w.s = tgθ = dx T0
ds w d2y ⎛ dy ⎞ = 1+ ⎜ ⎟ = . 2 dx T0 dx...