catenarias

L A CATENARIA EN 
A RQUITECTURA  

y=a cosh 
Susana de Zárraga Mata

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamenteflexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud (figura 1).

Figura 1: Catenaria

Historia de la catenaria
A lo largo de la historia, los matemáticos se mostraronfascinados por
la forma que adoptaba una cuerda o cadena que se combaba bajo su propio
peso e intentaron descubrir cual era la curva que la describía. Así, por
ejemplo, ya en los libros de notas de Leonardo da Vinci podemos encontrar
esquemas de cadenas colgando.
La prueba de que la resolución del problema no era nada fácil la
tenemos en que un hombre de la talla intelectual de Galileo erróen su
solución puesto que en 1638 publicó, en sus Diálogos sobre dos nuevas
ciencias, que la cadena asumiría la forma de una parábola. Cierto que
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cuando realizó los experimentos que le llevaron a tal conclusión, el sabio de
Pisa tenía ya 74 años y se encontraba casi ciego.
Sin embargo hoy sabemos que aunque el trazado de la parábola se
asemeja mucho al trazado de la catenaria, ambascurvas son diferentes
pues mientras la parábola está descrita por una ecuación cuadrática, en la
expresión de la catenaria se involucran funciones hiperbólicas
En 1669 el matemático alemán Joachin Jungius fue capaz de
demostrar que una cadena colgante no adoptaba una forma de parábola
pero fue necesario que pasara casi medio siglo tras la muerte de Galileo, en
1642, para encontrar la soluciónverdadera.
En 1690 el suizo Jakob Bernoulli propone un desafío en la prestigiosa
Acta Eruditorum, descubrir la fórmula matemática que definiera la verdadera
forma de la curva de la cadena colgante. La respuesta no tardo en llegar y
en 1691 la ecuación fue obtenida, de forma independiente, por su hermano
menor Johann Bernoulli, con el que tenía gran rivalidad, y por Gottfried
Leibniz yChistiaan Huygens en 1691.

Figura 2: Soluciones remitidas por Leibniz y Huygens a Bernouille para su
publicación en Acta Eruditorum (1691)

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Fue también durante el transcurso de estas investigaciones cuando
Huygens emplea por primera vez el término catenaria para designar a esta
familia de curvas en una carta dirigida a Leibnitz. Este término que deriva del
latín catena, cuyo significadoes cadena, se ha impuesto a otros sinónimos
como curva funicular o chainette.
Es curioso reseñar que, como se puede deducir del examen de su
correspondencia con Mersenne, un jovencísimo Huygens, ya había
mostrado interés en el problema de la forma que adoptaba la cadena
colgante pero, en ese momento, con sólo 17 años, fue incapaz de resolverlo
aunque si pudo solucionar un problemarelacionado, ¿cómo se deben colgar
pesos en la cuerda para que adquiriera una forma parabólica?
En el mismo año en que el problema fue resuelto, 1691, David
Gregory escribió, uno de los primeros tratados sobre esta familia de curvas y
más tarde, en 1744, Leonhard Euler demostró que la catenaria es la curva
que, rotada sobre el eje x produce una forma tridimensional que fue tras el
plano, la primerasuperficie mínima descubierta, el catenoide.

Figura 3: Catenoide

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Descripción matemática
La ecuación de la catenaria tomando su mínimo en el punto (0,h) es:

Figura 4:Representación gráfica de curvas catenarias
(h es un parámetro que regula la apertura de la curva)

Se puede deducir la ecuación de la catenaria según el siguiente
dibujo:

T.cosθ = T0, T.senθ = w.s(x)
dy
w.s
=...