centro de gravedad

Una barra no homogénea tiene una longitud de 12 cm; un punto genérico P situado a una
distancia x del extremo A tiene una densidad lineal de 2 x 2 ( g / cm) . Calcular
a)

centro de gravedad dela barra

b)

Si se hacen dobleces de manera que forme el contorno de un cuadrado, calcular el centro

de gravedad de dicha figura.

Y
B

E

P

D

•
x
A
B≡A

X

C

Resolución12

a) La masa total del sistema es M = ∫ dm = ∫ λdx = ∫ 2 x 2 dx =
0

1
1
La coordenada del centro de gravedad es xG =
∫ xdm = M
M

2 3⎤
2 ⋅ 123
x ⎥ =
g = 1152 g
3 ⎦0
3

12

1212

1 4⎤
∫ x ⋅ 2x dx = 2M x ⎥ 0 = 9cm
⎦
0
2

c) Dividimos la varilla en 4 partes de igual longitud. Cada parte no tiene la misma masa,
pues ésta es función de x; y la posición del centro degravedad de cada tramo también es
distinta.
A

C

D
3

E
3

2 ⎤
2 ⋅ 33
El tramo A-C, tiene una masa M 1 = ∫ dm = ∫ λdx = ∫ 2 x dx = x3 ⎥ =
g = 18 g ; y la
3 ⎦0
3
0
2

coordenadax del centro de gravedad de esa porción de varilla es
3

(xG )AC

1

x4 ⎤
⎥
2 ⎦0

3

3

1
3x ⎤
9
2
=
∫ xdm = M 1 ∫ x ⋅ 2x dx = 2 ⎤3 = 4 ⎥3 = 4 cm
M1
⎦
0
x3 ⎥
3 ⎦0

•

Eltramo C-D, comprendido entre el punto de x=3 cm y el de x=6 cm, tiene una masa
6

6

2 ⎤
2 ⋅ (63 − 33 )
M 2 = ∫ dm = ∫ λdx = ∫ 2 x dx = x3 ⎥ =
g = 126 g ; la coordenada y del centro de
3 ⎦3
33
2

gravedad de esa porción de varilla es

6

( xG )CD
D

•

1

x4 ⎤
⎥
2 ⎦3

3

C

6

1
3x ⎤
9
2
=
∫ xdm = M 2 ∫ x ⋅ 2x dx = 2 ⎤ 6 = 4 ⎥3 = 4 cm
M 21
⎦
3
x3 ⎥
3⎦3

D

•

El punto se encuentra a 9/4 cm del punto C, y cuando la varilla se dobla, este punto
pasa a ocupar en el nuevo sistema de referencia la posición (3, 9/4)

C
El tramo D-E, comprendidoentre el punto de x=6 cm y el de x=9 cm, tiene una masa
9

9

2 ⎤
2 ⋅ (93 − 63 )
M 3 = ∫ dm = ∫ λdx = ∫ 2 x dx = x3 ⎥ =
g = 342 g ; la coordenada y del centro
3 ⎦6
3
6
2

de gravedad...