centro de gravedad

1.- Centro de Gravedad (centroides de figuras compuestas)
- El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masasmateriales que constituyen dicho cuerpo.
En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo, Centro de masa y centro de gravedad: El centro de masas coincide con el centro de gravedad sólo si el campo gravitatorio es uniforme; es decir, vienedado en todos los puntos del campo gravitatorio por un vector de magnitud y dirección constante.
Por ejemplo, si consideramos dos puntos materiales A y B, cuyas masas respectivas valgan m1 y m2; además los suponemos rígidamente unidos por una varilla de masa despreciable, a fin de poder considerarlos como formando parte de un cuerpo sólido. La gravedad ejerce sobre dichos puntos sendas fuerzasparalelas m1g y m2g que admiten una resultante cuyo punto de aplicación recibe el nombre de centro de gravedad o centroide.




Propiedades de Centro de Gravedad
Un objeto apoyado sobre una base plana estará en equilibrio estable si la vertical que pasa por el centro de gravedad corta a la base de apoyo. Lo expresamos diciendo que el CG cae dentro de labase de apoyo.

Además, si el cuerpo se aleja algo de la posición de equilibrio, aparecerá un momento restaurador y recuperará la posición de equilibrio inicial. No obstante, si se aleja más de la posición de equilibrio, el centro de gravedad puede caer fuera de la base de apoyo y, en estas condiciones, no habrá un momento restaurador y el cuerpo abandona definitivamente la posición de equilibrioinicial mediante una rotación que le llevará a una nueva posición de equilibrio.
La resultante de todas las fuerzas netas gravitatorias que actúan sobre las partículas que constituyen un cuerpo pueden reemplazarse por una fuerza única, , esto es, el propio peso del cuerpo, aplicada en el centro de gravedad del cuerpo. Esto equivale a decir que los efectos de todas las fuerzas gravitatoriasindividuales (sobre las partículas) pueden contrarrestarse por una sola fuerza, , con tal de que sea aplicada en el centro de gravedad del cuerpo, como se indica en la figura.

Calculo de Centro de Gravedad
El centro de gravedad de un cuerpo viene dado por el único vector que cumple que:


Donde M es la masa total del cuerpo y  denota el producto vectorial.
En un campo gravitatorio uniforme, esdecir, uno en que el vector de campo gravitatorio  es el mismo en todos los puntos, la definición anterior se reduce a la definición del centro de masas:

En el campo gravitatorio creado por un cuerpo material cuya distancia al objeto considerado sea muy grande comparado con las dimensiones del cuerpo y del propio objeto, el centro de gravedad del objeto viene dado por:

Ejemplo. Dada unabarra homogénea de longitud L, orientada hacia un planeta lejano, y cuyo centro de masa dista una distancia Dc.m., del centro del planeta, el centro de gravedad de la barra está situado a una distancia del centro del planeta dado por:

La diferencia entre centro de masas y el centro de gravedad se debe en este caso a que el extremo de la barra más cercano al planeta es atraído gravitatoriamente conmayor intensidad que el extremo más alejado.








Teoremas de Pappus-Guldin:

TEOREMA I. El área de una superficie de revolución es igual a
la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida
por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie.

TEOREMA II. El volumen de un cuerpo de...