Centroides Y Momentos De Inercia

CENTROIDES Y MOMENTOS DE INERCIA

OBJETIVOS:

1. Determinar el centro de masa de el sólido asignado por cualquiera que sea el método utilizado, siempre y cuando se llegue al mismo resultado veraz y coherente.
2. Determinar el momento de inercia del el sólido por cualquiera que sea el método utilizado, siempre y cuando se llegue al mismo resultado veraz y coherente.
3. Demostrarque también se le pueden hallar los cálculos de los centros de masa y de los momentos de inercia a sólidos de forma inusuales, es decir no necesariamente que se puedan descomponer en figuras geométricas conocidas(integración).
4. Describir paso a paso los procedimientos metodológicos seguidos para el desarrollo del trabajo, pues es de gran importancia una buena sustentación para asimismofacilitar nuestro aprendizaje.

MARCO TEÓRICO

Se ha supuesto hasta ahora que la atracción ejercida por la tierra sobre un sólido rígido puede representarse mediante una fuerza única W. Esta fuerza, llamada peso del cuerpo, está aplicada en el centro de gravedad del cuerpo. En realidad, la tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partículas que constituyen el cuerpo. La acción de la tierrasobre un sólido rígido debe representarse, por tanto, mediante un gran número de pequeñas fuerzas distribuidas por todo el sólido. Entonces veremos, sin embargo, que todas estas pequeñas fuerzas pueden sustituirse por una fuerza única equivalente a W. Asimismo, cómo determinar la posición del centro de gravedad, es decir, el punto de aplicación de la resultante W, de cuerpos de diferentes formas.En la primera parte del capítulo se consideran cuerpos bidimensionales, tales como palcas y alambres planos. Se presentan, asimismo, dos conceptos íntimamente relacionados con la determinación de los centros de gravedad de placas y alambres. Son éstos el concepto de centroide de unas superficie o de un a línea y el momento de primer orden de una superficie o línea respecto a un eje dado. Veremostambién que el cálculo del área de una superficie de revolución o el volumen de un cuerpo de revolución puede relacionarse directamente con la determinación del centroide de una placa o de un alambre mediante los teoremas de Pappus-Guldin. Además la determinación del centroide de una superficie simplifica el estudio de las vigas sometidas a cargas distribuidas y el cálculo de las fuerzas que seejercen en superficies rectangulares sumergidas, tales como compuertas hidráulicas y secciones de presas.
La última parte del capítulo trata de la determinación de centros de gravedad de cuerpos tridimensionales y también de la determinación de centroides de volúmenes y de los momentos de primer orden respecto a los planos coordenados.
*SUPEFICIES Y LÍNEAS:
Centro de gravedad de un cuerpobidimensional:
Consideremos primero un aplaca horizontal. Ésta podemos dividirla en n elementos muy pequeños. Las coordenadas del primer elemento se designan por x1 e y1, las del segundo elemento por x2 e y2 , etc. Las fuerzas que la tierra ejerce sobre los elementos de la placa, las designaremos, respectivamente, ΔW. Estas fuerzas, o pesos, están dirigidas hacia el centro de la tierra; sin embargo, aefectos prácticos pueden suponerse paralelas. Su resultante es, por tanto, una fuerza única en la misma dirección. El módulo W de esta fuerza se obtiene sumando los módulos de los pesos elementales.

∑F: W = ΔW1 + ΔW2 + .... ΔWn

Para obtener las coordenadas X e Y del punto G, donde debe estar aplicada la resultante W, se escribe que los momentos de W respecto a los ejes X e Y son iguales a lasuma de los momentos correspondientes de los pesos elementales:

∑My: XW = x1 ΔW1 + x2ΔW2 + ... xnΔWn

∑Mx: YW = y1 ΔW1 + y2ΔW2 + ... ynΔWn

Si ahora aumentamos el número de elementos en que está dividida la placa y a la vez disminuimos el tamaño de cada elemento, en el límite se obtienen las expresiones siguientes:

W = ∫dw
XW = ∫xdw
YW = ∫ydw

Estas ecuaciones definen el peso W...