Centroides y momentos de inercia

CENTROIDE Y MOMENTOS DE INERCIA
Introducción
El centroide y los momentos de inercia son dos propiedades empleadas para determinar la resistencia y deformación de elementos estructurales tales como vigas y columnas, ya que definen las características geométricas de la forma y tamaño de la sección transversal de los elementos estructurales. Por ello a continuación se establece la definición yforma de determinar el centroide y los momentos de inercia. Para precisar la ubicación del centroide y valorar los momentos de inercia primero se definen y establecen para áreas simples, luego se indica la forma de calcularse en áreas compuestas además se definen otras propiedades geométricas que son función del centroide y los momentos de inercia.

Centroide
Definición
El peso de un objetogeneralmente se representa por el peso total aunque la realidad sugiere que debe ser representado como un gran número de diferenciales de peso distribuidos en todo el objeto. Un sistema equivalente al planteado consiste en determinar el peso total o resultante de todos los diferenciales de peso donde la ubicación de la resultante es un único punto denominado centro de gravedad. El centro de gravedad esel punto de aplicación en un cuerpo rígido de la resultante de las fuerzas donde los efectos sobre el cuerpo no varían. En el caso de superficies homogéneas, el centro de gravedad se sustituye por el centroide del área, el cual considera las áreas de los elementos en vez de los pesos y las expresiones para determinar las coordenadas centroidales son:

A = ∫ dA ; x A = ∫ xdA ; y A = ∫ ydA

(1)Figura 1. Centroide del área A y coordenadas de una parte del área ∆A (Tomado de Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I) por Beer, F. y Johnston, E., 1977. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)

Centroide de áreas compuestas
En gran cantidad de casos una superficie cualquiera puede ser subdividida en una serie de figuras comunes (rectángulo, triangulo,circunferencia etc..). Esta forma de análisis es útil y permite determinar el centroide de cualquier superficie según:

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Prof. Jorge O. Medina M. Sistemas Estructurales 10

A = ∑ Ai ; x =

∑x A ∑A
i i

i

; y=

∑yA ∑A
i i

i

(2)

Los centroides y el área común se obtienen de la aplicación de fórmulas para áreascomunes como los indicados en la tabla del apéndice.

Figura 2. Subdivisión de un área (Tomado de Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I) por Beer, F. y Johnston, E., 1977. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)

Teorema de Pappus-Guidin
Una superficie de revolución es aquella que se genera al girar una curva con respecto de un eje, por ejemplo una esfera se puedegenerar al girar un arco semicircular. De manera similar tenemos los cuerpos de revolución que son obtenidos al girar un área con respecto de un eje fijo. Teorema I El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generadora por la distancia recorrida por el centroide de la curva, al generar la superficie. Teorema II El volumen de un cuerpo de revolución es igual al áreageneradora por la distancia recorrida por el centroide del área al generar el cuerpo.

Momentos de Inercia
Definición
El centroide representa el punto donde se ubica la resultante del peso de un objeto y es proporcional a la ubicación del área asociada. Adicional al centroide tenemos el momento de inercia que además depende de la distancia que está el área a un eje dado.

Figura 3. Esquema deMomento de Inercia (Tomado de Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I) por Beer, F. y Johnston, E., 1977. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)

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El momento de inercia es una propiedad geométrica (similar al área) de una superficie o área que...