centroides

Fuerzas distribuidas: Centroides y centros de gravedad
5.1 Introducción.
La atracción ejercida por la tierra sobre un cuerpo rígido podría representarse por una sola fuerza W denominada fuerza de gravedad o peso del cuerpo.
La acción de la tierra sobre un cuerpo rígido debe representarse por un gran numero de partículas pequeñas de fuerza, distribuidas por todo el cuerpo. En este capitulo seaprenderá que la totalidad de dichas fuerzas pueden ser remplazadas por una sola fuerza equivalente W, también se aprenderá como determinar el punto de aplicación de la resultante W, para cuerpos de varias formas.
Se describen cuerpos bidimensionales como placas planas y alambres. Se introducen dos conceptos que están relacionados con la determinación del centro de gravedad de una placa o un alambre,el concepto de centroide del área y el concepto de primer momento de un área o de una línea con respecto a un eje dado.
Al final del capítulo se aprenderá a como determinar tanto el centro de gravedad de cuerpos tridimensionales como el centroide de un volumen.
Áreas y líneas.
5.2 Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional.
(Anexo 1) Para obtener las coordenadas 𝑥 ̅ y 𝑦 ̅ de un punto, dondedebe aplicarse la resultante W, los momentos de W con respecto a los ejes y y x son iguales a la suma de los momentos correspondientes de los pesos elementales, esto es:
ΣMY : 𝑥 ̅W = 𝑥1∆𝑤1 + 𝑥2∆𝑊2 + …+ 𝑥𝑛∆𝑊𝑛
ΣMX : 𝑦 ̅W = y1∆𝑤1 + y2∆𝑊2 + …+ y𝑛∆𝑊𝑛
Si se incrementa el número de elementos en los cuales se ha dividido la placa y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento se obtiene;
𝑊= ∫𝑑𝑊 𝑥̅𝑊= ∫𝑥𝑑𝑊 y ̅𝑊= ∫y𝑑𝑊
Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas del centro de gravedad G de una placa plana.



5.3 Centroides de áreas y líneas.
En el caso de una placa plana homogénea de espesor uniforme, la magnitud ∆𝑊 del peso de un elemento de la placa puede expresarse;
∆𝑊= 𝛾𝑡 ∆𝐴
Donde: 𝛾= peso específico del material t= espesor de la placa ∆𝐴 = área del elemento.
Si se incrementael número de elementos en los cuales se divide el área A y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento, es decir:
𝑥 ̅A= ∫𝑥𝑑A y ̅A= ∫y𝑑A
Estas ecuaciones definen las coordenadas 𝑥 ̅y 𝑦 ̅del centro de gravedad de una placa homogénea conocido también como el centroide C del área A. En cambio si la placa no es homogénea, estas ecuaciones no se pueden utilizar, pero estas aun definen alcentroide del área. En el caso de un alambre homogéneo de sección transversal uniforme, la magnitud ∆𝑊 del peso de un elemento de alambre puede expresarse como:
∆𝑊= 𝛾𝑎 ∆𝐿
Donde: 𝛾 = peso específico del material a = área de la sección transversal del alambre ∆𝐿 = longitud del elemento.
El centro de gravedad de un alambre coincide con el centroide C de la línea L que define la forma del alambre (Anexo2) es decir:
𝑥 ̅L= ∫𝑥𝑑L y ̅L= ∫y𝑑L

5.4 Primeros momentos de áreas y líneas.
La integral ∫𝑥𝑑A se le conoce como el primer momento del área A con respecto al eje y y se representa con Qy; de igual manera ∫y𝑑A define el primer momento de A con respecto al eje x y se representa con Qx, es decir:
QY = ∫𝑥𝑑A QX = ∫y𝑑A
O bien pueden ser expresadas como los productos del área con las coordenadas de sucentroide: QY = 𝑥 ̅A QX = y ̅A
Se dice que un área A es simétrica con respecto a un eje BB’ si para todo punto P del área existe un punto P’ de esa misma área tal que la línea PP’ sea perpendicular a BB’ y dicha línea está dividida en dos partes iguales por el eje en cuestión. Esta propiedad permite determinar de inmediato el centroide de áreas como círculos, elipses, cuadrados, rectángulos,triángulos equiláteros u otras figuras simétricas, así como el centroide de líneas que tienen la forma de la circunferencia de un círculo etc. Se dice que un área A es simétrica con respecto a un centro O si cada elemento de área dA de coordenadas x y y existe un elemento de área dA’ de igual superficie con coordenadas –x y –y, por lo tanto Qx=Qy= 0 Se debe señalar que una figura con centro de simetría...