ceros reales

Ceros Reales de Polinomios
Problemas
Encontrar todos los ceros reales del polinomio.
1. P (x) = x3 − 6x2 + 11x − 6
Soluci´n:
o
Los posibles ceros racionales son: ±1, ±2, ±3, ±6.
P (x) tiene tres variaci´nes de signo implica que tiene 1 ´ 3 ceros positivos.
o
o
P (−x) = −x3 − 6x2 − 11x − 6, no tiene variaci´n de signo implica que no tiene
o
ceros negativos.
1

1
1

-6
1
-511
-5
6

-6
6
0

x = 1 es un cero.
Entonces,
P (x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1)(x2 − 5x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x − 3).
Por lo tanto los ceros son 1, 2, y 3.

2. P (x) = x3 − 4x2 − x + 4
Soluci´n:
o
Los posibles ceros racionales son: ±1, ±2, ±4.
P (x) tiene dos variaci´nes de signo implica que tiene 0 ´ 2 ceros positivos.
o
o
P (−x) = −x3 − 4x2 + x + 4, tiene una variaci´n designo implica que tiene 1
o
cero negativo.
1

1
1

-4
1
-3

-1
-3
-4

4
-4
0

x = 1 es un cero.
Entonces,

1

P (x) = x3 − 4x2 − x + 4 = (x − 1)(x2 − 3x − 4) = (x − 1)(x − 4)(x + 1).
Por lo tanto los ceros son −1, 1 y 4.

3. P (x) = x3 + 12x2 + 21x + 10
Soluci´n:
o
Los posibles ceros racionales son: ±1, ±2, ±5,±10.
P (x) no tiene variaci´nes de signo implica que notiene ceros positivos.
o
P (−x) = −x3 + 12x2 − 21x + 10, tiene 3 variaci´nes de signo implica que tiene
o
1 ´ 3 ceros negativos.
o
-1

1

12
-1
11

1

21
-11
10

10
-10
0

x = −1 es un cero.
Entonces,
P (x) = x3 + 12x2 + 21x + 10 = (x + 1)(x2 + 11x + 10) = (x + 1)(x + 1)(x + 10) =
(x + 1)2 (x + 10).
Por lo tanto los ceros son −1 y −10.

4. P (x) = x3 − 4x2 + 5x − 2Soluci´n:
o
Los posibles ceros racionales son: ±1, ±2.
P (x) tiene 3 variaci´nes de signo implica que tiene 1 ´ 3 ceros positivos.
o
o
P (−x) = −x3 − 4x2 − 5x − 2, no tiene variaci´nes de signo implica que no tiene
o
ceros negativos.
1

1
1

-4
1
-3

5
-3
2

-2
2
0

x = 1 es un cero.
Entonces,
P (x) = x3 − 4x2 + 5x − 2 = (x − 1)(x2 − 3x + 2) = (x − 1)(x − 1)(x − 2) =
(x− 1)2 (x − 2).

2

Por lo tanto los ceros son 1 y 2.

5. P (x) = 2x3 + 3x2 − 1
Soluci´n:
o
Los posibles ceros racionales son: ±1, ± 1 .
2
P (x) tiene 1 variaci´n de signo implica que tiene 1 cero positivo.
o
P (−x) = −2x3 + 3x2 − 1, tiene 2 variaci´nes de signo implica que tiene 0 ´ 2
o
o
ceros negativos.
-1

2

3
-2
1

2

0
-1
-1

-1
1
0

x = −1 es un cero.Entonces,
P (x) = 2x3 + 3x2 − 1 = (x + 1)(2x2 + x − 1) = (x + 1)(2x − 1)(x + 1) =
(x + 1)2 (2x − 1).
Por lo tanto los ceros son −1 y 1 .
2

6. P (x) = 4x3 − 3x − 1
Soluci´n:
o
Los posibles ceros racionales son: ±1, ± 1 , ± 1 .
2
4
P (x) tiene 1 variaci´n de signo implica que tiene 1 cero positivo.
o
P (−x) = −4x3 + 3x − 1, tiene 2 variaci´nes de signo implica que tiene 0 ´ 2
o
o
cerosnegativos.
1

4
4

0
4
4

-3
4
1

-1
1
0

x = 1 es un cero.
Entonces,
P (x) = 4x3 − 3x − 1 = (x − 1)(4x2 + 4x + 1) = (x − 1)(2x + 1)(2x + 1) =
(x − 1)(2x + 1)2 .
1
Por lo tanto los ceros son 1 y − 2 .

3

7. P (x) = 4x3 + 3x2 + 8x + 6
Soluci´n:
o
Los posibles ceros racionales son: ±1, ±2, ±3, ±6, ± 1 , ± 1 , ± 3 , ± 3 .
2
4
2
4
P (x) no tiene variaci´n de signoimplica que no tiene ceros positivos.
o
P (−x) = −4x3 + 3x2 − 8x + 6, tiene 3 variaci´nes de signo implica que tiene 1
o
o
´ 3 ceros negativos.
-1

4

3
-4
-1

4

8
1
9

6
-9
-3

x = −1 es cota inferior.
−3
4

4

3
-3
0

4

8
0
8

6
-6
0

x = − 3 es un cero.
4
Entonces,
P (x) = 4x3 + 3x2 + 8x + 6 = (x + 3 )(4x2 + 8) = (4x + 3)(x2 + 2).
4
Como x2 ≥0 implica que − 3 es el unico cero real.
4

8. P (x) = x4 − 3x2 + 2
Soluci´n:
o
Los posibles ceros racionales son: ±1, ±2. P (x) tiene 2 variaci´nes de signo
o
implica que tiene 0 ´ 2 ceros positivos.
o
P (−x) = x4 − 3x2 + 2, tiene 2 variaci´nes de signo implica que tiene 0 ´ 2 ceros
o
o
negativos.
1

1
1

-1

1
1

0
1
1

0
-1
-1

-3
2
-1

0
-1
-1

-3
1...