CHI CUADRADO

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL PARA LA VARIANZA
Definición: Se dice que una variable aleatoria X se distribuye Chi-Cuadrado con n grados de libertad,
denotado
d t d por X sigue χ 2 (n) , sii su f ió d d idd es:
función de densidad
i

⎧
1
x
⎪
⎪ n 2
⎛ n ⎞
f (x) = ⎨ 2
Γ ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎪
⎪ 0 T .O .C .
⎩
E (x) = n

n
−1
2

e

−1
x
2

x > 0

V (x) = 2n
Gráficamente la distribuciónse presenta de la siguiente forma:

α
χ α2 ( n )
23/04/2010

VÍCTOR GONZÁLEZ RUIZ

1

Características de la distribución CHI-CUADRADO:
ii. Es una distribución No Simétrica
Simétrica.
ii.Lee las probabilidades en el extremo superior de la distribución, por lo cual la notación para el
cálculo de probabilidades es como sigue:
2
2
P( x > χ c ) = α o P( x ≥ χ c ) = α

El cálculode probabilidades se puede realizar a través de las Tablas de la distribución

Definición: Sea X 1 ; X 2 ; X 3 ;;; X n una muestra aleatoria extraída de una población Normal con media

µ y varianzaσ 2 . Si proponemos las siguientes estadísticas para la varianza:
n

1. Supuesto µ Conocido: S 2 =

∑( x
i =1

− µ)2

i

n
n

2
2. Supuesto µ Desconocido: S n −1 =

23/04/2010

∑(x
i =1

i

− x)2

n −1

VÍCTOR GONZÁLEZ RUIZ

2

Entonces se tiene lo siguiente:
Se sabe que Z =

(x − µ)

σ

2

⇒ Z =
2

(x − µ) 2

σ

2

2
sigue χ 1 , luego:Para 1
P 1.
n

S

2

=

∑( x
i =1

i

− µ)

⇒ nS

n

σ

2

=

∑( x
i =1

23/04/2010

n

2

=∑( xi − µ )
i =1

n

nS 2

n

2

i

σ

2

1

σ

2

⇒nS 2

σ

2

=

∑( x
i =1

i

σ

− µ)2
2

− µ)2
2

sigue a una χ 2 (n)

VÍCTOR GONZÁLEZ RUIZ

3

Para 2.
n

2
S n −1 =

∑( x
i =1

i

− x)

n

2
n

2⇒ (n − 1) S n −1 = ∑ ( x i − x ) 2

n −1

i =1

n

(n − 1) S

σ

2
n −1

2

23/04/2010

=

∑( x
i =1

i

σ

1

σ

2

⇒

(n − 1) S

σ

2

2
n −1

=

∑(...