Chi Cuadrado
Páginas: 7 (1655 palabras)
Publicado: 18 de diciembre de 2012
EL CHI CUADRADO
En estadística, la distribución χ² (de Pearson), llamada Chi cuadrado o Ji cuadrado, es una distribución de probabilidad continua con un parámetro que representa los grados de libertad de la variable aleatoria
Donde son variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza uno. El que la variable aleatoria tenga esta distribución se representa habitualmenteasí:
Es conveniente tener en cuenta que la letra griega χ se transcribe al latín como chi[1] y se pronuncia en castellano como ji.[2] [3]
Función de densidad
Su función de densidad es:
Donde es la función gamma.
La función densidad de si Z es tipo N(0,1) viene dada porDespejando y teniendo en cuenta contribuciones positivas y negativas de z:La función distribución de viene dada por suconvoluciónAplicando transformada de LaplaceAplicando antitransformada se obtiene f(x;k) |
Función de distribución acumulada
Su función de distribución es
Donde es la función gamma incompleta.
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k y 2k.
Relación con otras distribuciones
La distribución χ² es un caso especial de la distribucióngamma. De hecho, Como consecuencia, cuando, la distribución χ² es una distribución exponencial de media.
Cuando k es suficientemente grande, como consecuencia del teorema central del límite, puede aproximarse por una distribución normal:
Aplicaciones
La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la de la denominada prueba χ² utilizada como prueba deindependencia y como prueba de bondad de ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student.
Aparece también en todos los problemas de análisis de varianza por su relación conla distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución χ².
OBJETIVOS
El objetivo de este e-block es el estudio de varias cuestiones en relación con v.a. cualitativas ó cuantitativas cuyos datos están recogidos en forma de tabla de frecuencias. El denominador común a todas ellas es que su tratamiento estadístico estábasado en la misma distribución teórica: la distribución χ2 (chi-cuadrado ó ji-cuadrado). En esencia se van a abordar tres tipos de problemas:
a) Prueba de Bondad de Ajuste, consiste en determinar si los datos de cierta muestra corresponden a cierta distribución poblacional. En este caso es necesario que los valores de la variable en la muestra y sobre la cual queremos realizar la inferencia estédividida en clases de ocurrencia, o equivalentemente, sea cual sea la variable de estudio, deberemos categorizar los datos asignado sus valores a diferentes clases o grupos.
b) Prueba de Homogeneidad de varias muestras cualitativas, consiste en comprobar si varias muestras de un carácter cualitativo proceden de la misma población (por ejemplo: ¿estas tres muestras de alumnos provienen depoblaciones con igual distribución de aprobados? Es necesario que las dos variables medibles estén representadas mediante categorías con las cuales construiremos una tabla de contingencia.
c) Prueba de Independencia, consistente en comprobar si dos características cualitativas están relacionadas entre sí (por ejemplo: ¿el color de ojos está relacionado con el color de los cabellos?). Aunqueconceptualmente difiere del anterior, operativamente proporciona los mismos resultados. Este tipo de contrastes se aplica cuando deseamos comparar una variable en dos situaciones o poblaciones diferentes, i.e., deseamos estudiar si existen diferencias en las dos poblaciones respecto a la variable de estudio.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Este math-block supone ciertos conocimientos básicos de estadística...
En estadística, la distribución χ² (de Pearson), llamada Chi cuadrado o Ji cuadrado, es una distribución de probabilidad continua con un parámetro que representa los grados de libertad de la variable aleatoria
Donde son variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza uno. El que la variable aleatoria tenga esta distribución se representa habitualmenteasí:
Es conveniente tener en cuenta que la letra griega χ se transcribe al latín como chi[1] y se pronuncia en castellano como ji.[2] [3]
Función de densidad
Su función de densidad es:
Donde es la función gamma.
La función densidad de si Z es tipo N(0,1) viene dada porDespejando y teniendo en cuenta contribuciones positivas y negativas de z:La función distribución de viene dada por suconvoluciónAplicando transformada de LaplaceAplicando antitransformada se obtiene f(x;k) |
Función de distribución acumulada
Su función de distribución es
Donde es la función gamma incompleta.
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k y 2k.
Relación con otras distribuciones
La distribución χ² es un caso especial de la distribucióngamma. De hecho, Como consecuencia, cuando, la distribución χ² es una distribución exponencial de media.
Cuando k es suficientemente grande, como consecuencia del teorema central del límite, puede aproximarse por una distribución normal:
Aplicaciones
La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la de la denominada prueba χ² utilizada como prueba deindependencia y como prueba de bondad de ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student.
Aparece también en todos los problemas de análisis de varianza por su relación conla distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución χ².
OBJETIVOS
El objetivo de este e-block es el estudio de varias cuestiones en relación con v.a. cualitativas ó cuantitativas cuyos datos están recogidos en forma de tabla de frecuencias. El denominador común a todas ellas es que su tratamiento estadístico estábasado en la misma distribución teórica: la distribución χ2 (chi-cuadrado ó ji-cuadrado). En esencia se van a abordar tres tipos de problemas:
a) Prueba de Bondad de Ajuste, consiste en determinar si los datos de cierta muestra corresponden a cierta distribución poblacional. En este caso es necesario que los valores de la variable en la muestra y sobre la cual queremos realizar la inferencia estédividida en clases de ocurrencia, o equivalentemente, sea cual sea la variable de estudio, deberemos categorizar los datos asignado sus valores a diferentes clases o grupos.
b) Prueba de Homogeneidad de varias muestras cualitativas, consiste en comprobar si varias muestras de un carácter cualitativo proceden de la misma población (por ejemplo: ¿estas tres muestras de alumnos provienen depoblaciones con igual distribución de aprobados? Es necesario que las dos variables medibles estén representadas mediante categorías con las cuales construiremos una tabla de contingencia.
c) Prueba de Independencia, consistente en comprobar si dos características cualitativas están relacionadas entre sí (por ejemplo: ¿el color de ojos está relacionado con el color de los cabellos?). Aunqueconceptualmente difiere del anterior, operativamente proporciona los mismos resultados. Este tipo de contrastes se aplica cuando deseamos comparar una variable en dos situaciones o poblaciones diferentes, i.e., deseamos estudiar si existen diferencias en las dos poblaciones respecto a la variable de estudio.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Este math-block supone ciertos conocimientos básicos de estadística...
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