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Desigualdad de Chebyshov
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En probabilidad, la desigualdad de Chebyshov (habitualmente también escrito como "Tchebycheff") es unresultado que ofrece una cota inferior a la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria con varianza finita esté a una cierta distancia de su esperanza matemática. La desigualdad recibe sunombre del matemático ruso Pafnuti Chebyshov.
Contenido[ocultar] * 1 Formulación * 2 Ejemplos * 3 Demostración * 4 Discusión * 5 Véase también |
[editar] Formulación
Si X es una variablealeatoria de media μ y varianza finita σ², entonces, para todo número real k > 0,

Sólo en caso de que k > 1 la desigualdad proporcionan una cota no trivial.
[editar] Ejemplos
Para mostrareste resultado, supongamos que los artículos de Wikipedia tienen una extensión media de 1000 caracteres y una desviación típica de 200 caracteres. De la desigualdad de Chebyshov, usando k = 2, se deduceque al menos el 75% de los artículos tendrán una extensión comprendida entre 600 y 1400 caracteres.
Otra consecuencia del teorema es que para cada distribución de media μ y desviación típica finitaσ, al menos la mitad de sus valores se concentrarán en el intervalo (μ-√2 σ, μ+√2 σ).
[editar] Demostración
Para demostrar la desigualdad se parte de la variable aleatoria auxiliar Y definida así:Entonces, trivialmente,

y por lo tanto,

Tomando esperanzas en ambos miembros se obtiene

por lo que

Pero, a su vez, dado que Y sólo puede ser 0 o 1,

lo que prueba el resultado.[editar] Discusión
La cota proporcionadas por la desigualdad de Chebyshov, en general, no se pueden mejorar. De hecho es posible construir una variable aleatoria cuya cota de Chebyshov coincida con lasprobabilidade real. Sin embargo, en casos concretos el teorema proporciona cotas poco precisas.
El teorema puede ser útil a pesar de las cotas imprecisas porque se aplica a una amplia gama de...
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