Ciencia

Resumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. C´lculo de a derivadas. Aplicaciones. 0.1.
Concepto de derivada.

Definici´n 1. Sea f : S ⊂ R → R, a ∈ (b, c) ⊆ S. Decimos que f es derivable en a si existe: o l´ ım f (x) − f (a) ∈ R. x−a

x→a

Dicho valor se denota como f (a), se llama derivada de f en a y tambi´n se puede escribir como e l´ ım f (a + h) − f (a) , h

h→0

donde x − a =h.

Nota 2. Para que la derivada exista tiene que existir el l´ ımite, es decir, deben existir los l´ ımites laterales y coincidir.

Definici´n 3. Una funci´n f se dice derivable en A si lo es en todo punto a ∈ A. o o

Ejemplo 4.

a) f (x) = x2 es derivable en a = 2 y su derivada vale f (2) = 4, ya que: f (2) = = f (2 + h) − f (2) (2 + h)2 − 22 = l´ ım h→0 h→0 h h l´ ım h2 + 4h = l´ (h +4) = 4. ım h→0 h→0 h l´ ım

b) f (x) = |x| no es derivable en a = 0, pues f+ (0) = l´ + ım
h→0

|h| − |0| h = l´ + = 1 ım h h→0 h

pero

|h| − |0| −h = l´ − ım = −1. h h h→0 Luego existen las derivadas laterales, pero los l´ ımites no coinciden. Entonces, la funci´n valor absoluto no es o derivable en a = 0. f− (0) = l´ − ım
h→0

c) f (x) = x1/3 no es derivable en a = 0, ya que: f (0) =l´ ım h1/3 − 01/3 1 = l´ ım 2/3 = +∞ h→0 h→0 h h

luego no se trata de un n´mero real. En este caso, se dice que la funci´n tiene derivada +∞ en a = 0. u o

Definici´n 5 (Funci´n derivada). Sean f : S ⊂ R → R y T = {x ∈ S/ f posee derivada en x}. La funci´n: o o o x∈T → f (x) ∈ R

se llama funci´n derivada primera de f y se representa por f . o An´logamente se pueden definir las derivadassucesivas: a f = (f ) , f = (f ) , f iv) = (f ) , ...

1

0.2.

Interpretaci´n geom´trica de la derivada o e

Si f es derivable en a, f (a) es un n´mero real que coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) u en el punto (a, f (a)).

4 3 2 1

0 –1

0.5 1 1.5 2 x

es la funci´n y = x2 o es la tangente en el punto (1, 1), y = 2x − 1 × × × × es la recta normal enel punto (1, 1), y = (3 − x)/2 −−−− Definici´n 6. Se define la recta de pendiente m que pasa por el punto (x0 , y0 ) como: o y − y0 = m (x − x0 ) Dos rectas de pendientes m y m, respectivamente, se dice que son perpendiculares cuando forman un ´ngulo de a 90o . Entonces, se puede comprobar que la relaci´n entre sus pendientes es: o m=− 1 m

Definici´n 7. Si f es derivable en a y f (a) = 0, entoncesla pendiente de la recta tangente en el punto (a, f (a)) es o f (a), y la pendiente de la recta normal es − f 1 . (a)

y − f (a) = f (a) (x − a)

es la recta tangente a y = f (x) en el punto (a, f (a)).

y − f (a) = −

1 (x − a) f (a)

es la recta normal a y = f (x) en el punto (a, f (a)).

Nota 8. Si f (a) = 0, entonces la recta tangente es horizontal. Si f (a) = ±∞, entonces larecta tangente es vertical.

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Teorema 9. Si f es derivable en a, entonces f es continua en a. Demostraci´n: Supongamos que f es derivable en a. Entonces, existe el l´ o ım
x→a

f (x) − f (a) = f (a). x−a

Para la continuidad de f en a, tenemos que demostrar que si x → a entonces f (x) → f (a). Notemos que si x = a, f (x) − f (a) = luego
x→a

f (x) − f (a) · (x − a) x−a

l´ ım

f (x)− f (a) · (x − a) = f (a) · l´ (x − a) = 0 ım x→a x−a

Nota 10. El rec´ ıproco no es cierto, es decir, una funci´n continua en un punto no tiene por qu´ ser derivable en ese o e punto. Ejemplo: f (x) = |x| en a = 0.

0.3.

´ Algebra de derivadas

Teorema 11. Sean f , g : S ⊂ R → R dos funciones derivables en a. Entonces, se verifica: 1. f ± g es derivable en a, siendo: (f ± g) (a) = f (a)± g (a) 2. Si λ ∈ R, entonces λ · f es derivable, siendo: (λ · f ) (a) = λ · f (a) 3. f · g es derivable en a, siendo: (f · g) (a) = f (a) · g(a) + f (a) · g (a) 4. Si g (a) = 0, f es derivable en a, siendo: g f g (a) = f (a) · g(a) − f (a) · g (a) (g(a))2

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0.4.

Derivadas de las funciones elementales Derivadas de funciones elementales Potencia (xn ) = nxn−1 Exponenciales (ex ) = ex...