Cinética de cuerpos rígidos en tres dimensiones

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18.1 introducción
En capítulos anteriores se estudio el movimiento plano de cuerpos rígidos y de sistemas de cuerpo rígido, obteniendo dos ecuaciones fundamentales :
∑F=mā
∑MG=HG’
,constituyen el fundamento para el análisis de problemas de este tipo. Sin embargo, el calculo de la cantidad de movimiento angular HG del cuerpo y el de su derivada HG’ del cuerpo , ahora revisten una importanciaconsiderable.
18.2 Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido en 3 dimensiones
Los componentes rectangulares de la cantidad de movimiento angular HG de un cuerpo rígido se puede expresar como sigue, una función de las componentes de su velocidad angular w y de sus momentos y productos centroidales de inercia:
Hx = +IxWx -IxyWy -IxzWz
Hy = -IyxWx +IyWy -IyzWz
Hz = -IzxWx -IzyWy +IzWzSi se utilizan los ejes principales de inercia Gx’y’z’, estas relaciones se reducen a :
Hx’=Ix’Wx’ Hy’=Iy’Wy’ Hz’=Iz’Wz’
Se observó que , en general, la cantidad de movimiento angular HG y la velocidad angular w no tienen la misma dirección . Sin embargo, tendrán la misma dirección si w está dirigida a lo largo de uno de los ejes principales de inercia del cuerpo.

Comoel sistema de las partículas de movimiento que forman un cuerpo rígido se puede reducir a un vector mv aplicado en G y al par HG ,se observó que, una vez determinadas la cantidad de movimiento lineal mv y la cantidad de movimiento angular HG de un cuerpo rígido, la cantidad de movimiento Ho del cuerpo rígido con respecto a cualquier punto dado O se puede obtener escribiendo :
HO=rxmv + HG
Enel caso particular de un cuerpo rígido restringido a girar alrededor de un punto fijo O , las componentes de la cantidad de movimiento angular HO del cuerpo alrededor de O se pueden obtener directamente a partir de las componentes de su velocidad angular y de sus momentos y productos de inercia con respecto a ejes que pasan por O.
Hx = +IxWx -IxyWy -IxzWz
Hy = -IyxWx +IyWy -IyzWz
Hz = -IzxWx-IzyWy +IzWz
18.3 Aplicación del principio del impulso y la cantidad de movimiento al movimiento tridimensional de un cuerpo rígido.
En principio del impulso y la cantidad de movimiento en el caso de un cuerpo rígido en movimiento tridimensional se expresó con la misma formula fundamental para un cuerpo rígido en movimiento plano :
Sist.cant.mov.1+ Sist.cant.mov.1→2= Sist.cant.mov.2
Aunquelos sistemas de cantidades de movimiento inicial y final ahora se deben representar como en la figura mostrada y HG se debe calcular como se mostro con anterioridad.
18.4 Energía cinética de un cuerpo rígido en tres dimensiones
La energía cinética de un cuerpo rígido en movimiento tridimensional se divide en dos partes, una asociada con el movimiento de su centro de nada G, y la otra con sumovimiento con respecto a G. Usando los ejes principales de inercia x’,y’,z’ ,escribimos
T=1/2mv-2+1/2(Ix’Wx’2+Iy’Wy’2+Iz’Wz’2)
Donde:
v=velocidad del centro de masa
w=velocidad angular
m=masa del cuerpo rígido
Ix’ ,Iy’, Iz’ = momentos de inercia centroidales principales.

En el caso de de un cuerpo restringido a girar alrededor de un punto fijo O, La energía cinética de cuerpo se puedeexpresar :
T=1/2(Ix’Wx’2+Iy’Wy’2+Iz’Wz’2)
Donde x’,y’,z’ son los ejes principales de inercia del cuerpo en O, los resultados obtenidos hacen posible entender al movimiento tridimensional de un cuerpo rígido la aplicación de principio de trabajo y la energía y del principio de la conservación de la energía .
18.5 Movimiento de un cuerpo rígido en tres dimensiones
La segunda parte del capítulo sededicó a la aplicación de las ecuaciones fundamentales
∑F=mā
∑MG=HG’
al movimiento de un cuerpo rígido en 3 dimensiones. En primer lugar HG representa la cantidad de movimiento angular del cuerpo con referencia a un sistema centroidal GX’Y’Z’ de orientación fija, y que en la ecuación H’G representa la razón de cambio de HG con respecto a dicho sistema de referencia. Conforme el cuerpo gira,...
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