cinemática de la deformación

CAPíTULO 4

Cinemática de la deformación
La cinemática es el estudio del movimiento de los cuerpos sin fijarse en la
naturaleza de las fuerzas que causan el movimiento.
1.

Deformación de un medio continuo

En la teoría del continuo, un cuerpo es modelado como compuesto de un gran
conjunto de partículas materiales, llamadas puntos materiales, cada una de las
cuales tiene una masaasignada. Esa masa es continua de forma que
∆
 (x ) = l´
ım

(1.1)
∆→0 ∆
1.1. Descripción Lagrangiana y Euleriana. La forma en que las partículas materiales de un cuerpo en el estado inicial X se desplazan hacia un estado
deformado x en el tiempo , es especificada por medio de una función de mapeo
continuamente diferenciable, con la forma
¢
¡
 =     
(1.2)

la cual esllamada ecuación de movimiento o simplemente movimiento. Como
el movimiento de las partículas materiales debe ser uno a uno, la ecuación de
movimiento debe tener inversa, la cual es
¢
¡
(1.3)
  =     

y que describe el movimiento inverso y se denomina ecuación de movimiento inverso.
El principio físico que permite la existencia de tal inversa se conoce como el
axioma de laimpenetrabilidad de la materia de física. Matemáticamente, esta condición se describe con la no nulidad del jacobiano
¯
¯
µ
¶¯
¶¯
µ

 ¯
¯
¯
¯
−1
¯det 
¯  0
¯  0
¯det 
=¯
 =¯
(1.4)
  ¯
 ¯

Para analizar el movimiento, existen dos métodos equivalentes: el lagrangiano
y el euleriano. Éstos dos métodos son descritos a continuación.
En el método lagrangiano se estudiael movimiento individual de las partículas materiales que conforman un cuerpo mientras éste se deforma, etiquetadas en
el estado no deformado. En este método se va siguiendo el movimiento de una
partícula X y se expresan todas las propiedades de los campos físicos relevantes
como funciones de X y de .
En el método euleriano se estudian las propiedades de los campos físicos de
interés en lasposiciones espaciales individuales en el estado deformado del cuerpo,
sin importar que partículas alcanzan esas posiciones en el tiempo. Las propiedades
de los campos físicos se expresan como funciones de x y de .
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4. CINEM ÁTICA DE LA DEFORM ACIÓN

Para poder distinguir entre el método lagrangiano y euleriano, se utilizará la
etiqueta   para referirnos a coordenadas materialeso lagrangianas, y la etiqueta
 para referirnos a coordenadas espaciales o eulerianas.
Un cuerpo se deforma cuando las partículas materiales que constituyen el cuerpo experimentan cambios en sus posiciones relativas como respuesta a cargas aplicadas.
La configuración de un cuerpo es el mapeo tridimensional que describe la posición relativa de las partículas materiales. La totalidad de estosmapeos constituye
la deformación de un cuerpo. Para propósitos de análisis, la deformación de un
medio continuo de describe con respecto a una configuración de referencia, la cual
no es necesariamente la configuración del estado no deformado.
1.2. Deformación de un cuerpo. Los vectores de posición de un punto
material en el estado de referencia y en estado deformado son
¯
˜
P = P (Z) = P (X) =P∗ (x ) 
p = p (z) = p (x) = p∗ (X ) 
¯
˜

(1.5)
(1.6)

Los vectores base para el estado de referencia son
ˆ = P 
I
 

P
ˆ
G =

 

(1.7)

y para el estado deformado son
ˆ =


p

 

g =
ˆ

p



(1.8)

Entonces, se puede definir el siguiente vector para caracterizar el proceso de deformación,
C =

p
p 
p 
=
=
  =g   
ˆ


  


(1.9)

que representa el cambio del vector de posición p (en el estado deformado) con
respecto al cambio en las coordenadas materiales   (del estado de referencia) y
es, por lo tanto, definido como vector de deformación en las coordenadas materiales.
Por otro lado, también se puede definir un vector para caracterizar la deformación con respecto al...