Cinemática

Ejercicios resueltos de
Ecuaciones Diferenciales

II

II

Í NDICE GENERAL
1. Métodos elementales de resolución de ecuaciones diferenciales
ordinarias

1

2. La ecuación lineal I: aspectos teóricos sobre la existencia y unicidad de solución y matrices fundamentales
33
3. La ecuación lineal II: forma canónica de Jordan, exponencial de
una matriz y fórmula de variación de lasconstantes
57
4. Teoría de comparación de Sturm

109

5. La ecuación periódica

113

6. Ecuaciones diferenciales con coeficientes analíticos

153

7. Análisis local de existencia y unicidad de soluciones

163

8. Análisis global de existencia y unicidad de soluciones

195

9. Dependencia continua y diferenciable respecto de datos iniciales
y parámetros. Estabilidad
211
10.Series de Fourier, problemas de contorno, ecuaciones en derivadas parciales y cálculo de variaciones
237

III

ÍNDICE GENERAL

IV

IV

C APÍTULO 1

Métodos elementales de
resolución de ecuaciones
diferenciales ordinarias
1. La población P(t) de un suburbio de una gran ciudad en un instante
cualquiera se rige por

= P(10−1 − 10−7 P)
,
P(0) = 5000
dP
dt

en donde t se mide enmeses. ¿Cuál es el valor límite de la población?
¿En qué momento será la población igual a la mitad de su valor límite?

Solución : Calculamos en primer lugar el tamaño de la población,
P(t), resolviendo el problema de valores iniciales. La ecuación diferencial tiene sus variables separadas:
P(10−1

P
= 1,
− 10−7 P)

donde hemos denotado P = dP . Integrando los dos miembros de
dt
estaidentidad entre 0 y t obtenemos
107

P(t)
5000

dQ
= t,
Q(106 − Q)

donde hemos efectuado el cambio de variable Q = P(t). Teniendo
en cuenta ahora que
1
Q(106

− Q)

= 10−6
1

1
1
+ 6
Q 10 − Q

,

2
concluimos tras una serie de cálculos simples que la única solución
de nuestro problema es
t

P(t) =

106 e 10
t

199 + e 10

.

El valor límite de lapoblación es por tanto
l´m P(t) = 106 ,
ı

t→∞

como se desprende de una simple aplicación de la regla de L’Hôpital.
Para responder a la segunda cuestión tenemos que encontrar el valor
6
t0 para el que P(t0 ) = 10 . Basta entonces con resolver la ecuación
2
t0

10

6

e 10
t0

=

199 + e 10

t0
106
⇔ e 10 = 199 .
2

Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros concluimos quet0 = 10 log(199) meses ≈ 4,41 años .

2. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
(a) x = et −

2t
t2 −1

(b) ( x2 + 9) y + xy = 0
(c)

dy
dx

= 2xe− y

(d) x =

1+t
t2 x2

(e) x = et+x

Solución : (a) La ecuación tiene sus variables separadas. Integrando
obtenemos
x(t) = et − log(|t2 − 1|) + C ,
2

C ∈ R.

Métodos elementales

3

6

1·10

800000600000

400000

200000

20

40

60

80

100

120

140

Figura 1.1: Representación gráfica de la solución del Ejercicio 1 en el intervalo
[0, 150].

3

4
(b) Separando las variables obtenemos
x
y
=− 2
y
x +9
e integrando con respecto a x llegamos a
y( x) = √

C
x2 + 9

(c) Separando las variables resulta e y
solución general
y( x) = log( x2 + C ) ,

dydx

.

= 2x, de donde se obtiene la

C ∈ R : x2 + C > 0 ,

sin más que integrar ambos miembros con respecto a la variable x.
Obsérvese que, dado cualquier dato inicial y( x0 ) = y0 , la solución
sólo existe si
x 2 > −C = x 2 − e y0 .
0
(d) Separando las variables obtenemos
x2 x =

1+t
.
t2

Integrando entonces con respecto a t en ambos miembros de la ecuación encontramos que lasolución general de la misma viene dada
por
1
x(t) = 3 log(|t|) −
t

1
3

+C

,

C ∈ R.

(e) Separando las variables resulta e−x x = et , de donde obtenemos
la solución general
x(t) = − log(C − et ) ,

C > et ,

integrando la ecuación con respecto a la variable t. Obsérvese que,
dado cualquier dato inicial x(t0 ) = x0 , la solución sólo existe si
t < log(C ) con C = et0 +...