Cinematica Y Parametrización

Capítulo 1 Cinemática
1.1. Introducción

Una herramienta indispensable para el análisis dinámico de estructuras con grandes rotaciones es la cinemática. Gracias a la cinemática es posible conocer la posición, velocidad y aceleración de las partículas que componen un cuerpo en movimiento. El planteamiento cinemático sera desarrollado matricialmente, emplearemos la matriz de giro para determinarla orientación del sólido, en cada instante de tiempo, respecto del sistema de referencia inercial. La matriz de rotación estará expresada en términos de los parámetros de Euler. La elección de estos parámetros no ha sido arbitraria, ya que con este conjunto de parámetros no existen problemas de indeterminación de la matriz de rotación, como ocurre con otros conjuntos, tales como los ángulos deEuler o los parámetros de Rodríguez. Una vez definida la expresión de la matriz de giro en función de los parámetros de Euler, deduciremos la ecuación diferencial de primer orden que gobierna la orientación de un sólido rígido. Ésta relaciona la velocidad angular con la matriz de rotación y su primera derivada temporal. Su integración nos proporcionará la orientación del sistema en cada instante detiempo. Cuando el sistema es un sólido rígido, la cinemática de este cuerpo queda totalmente definida por la cinemática de su sistema de referencia local, porque las partículas de un sólido rígido no se mueven respecto de un sistema de referencia fijo en el cuerpo. Cuando el cuerpo es deformable, las partículas se mueven respecto del sistema de referencia local y debemos distinguir entre lacinemática del sistema de referencia fijo en el cuerpo y la cinemática de las partículas del sólido. 1

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Capítulo 1. Cinemática

Este trabajo trata de la dinámica de sólidos deformables, pero como primer paso desarrollaremos las expresiones cinemáticas para el caso de sólido rígido. Después añadiremos a dichas expresiones el efecto de la deformación, obteniendo finalmente la descripción cinemáticadel movimiento de un sólido deformable.

1.2.

Parametrización de la matriz de rotación

Gracias a la matriz de giro podemos conocer la orientación del sistema de referencia local respecto del global. Expresaremos la matriz de rotación en función de los parámetros de Euler, éstos son un conjunto de 4 parámetros. Para entender qué representan, pensemos en un vector a como el de la Figura(1.1), expresado en el sistema (X, Y, Z), que rota alrededor del eje representado por el vector unitario n un ángulo β hasta ocupar la posición que representa el vector b. Ligado al vector a tendríamos un sistema de referencia local que giraría con dicho vector, pero como en este caso dicho sistema de referencia no se necesita lo obviaremos por sencillez y claridad del dibujo. Los parámetros de Eulerse definen como: q0 qn ( donde q0 es un escalar y qn = q1 q2 ( ) β = cos (1.2.1) 2 ( ) β = nsen (1.2.2) 2 )T es un vector. Estos cuatro parámetros no son q3

independientes entre sí, sino que están relacionados por la restricción: q2 + q2 + q2 + q2 = 1 0 1 2 3 o lo que es lo mismo: qT q = 1 donde q= [ ] (1.2.5) (1.2.4) (1.2.3)

q0 qn

siendo q el cuaternión que agrupa a los parámetros deEuler. La condición (1.2.3) puede comprobarse por simple sustitución y aplicación de relaciones trigonométricas. Esta condición obliga a que cuando un vector rote, éste mantenga el valor de su módulo.

1.2. Parametrización de la matriz de rotación

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Z

b a
n b Y

0

X
Figura 1.1. Giro del vector a hasta la posición b alrededor de un eje de vector unitario n.

Se puede demostrar,véase [?, ?, ?, ?], que es posible expresar el vector b en el sistema de referencia inercial, en función del ángulo β y los vectores a, n. Esta relación viene dada por: b = acos (β) + (1 − cos (β)) (a · n) n + n × asen (β) expresión que se puede reescribir, sacando a factor común, como: b = Aa (1.2.7) (1.2.6)

donde A es la matriz de rotación. La relación (1.2.7) se deduce mediante la aplicación...