cinematica

695 Análisis matemático para Ingeniería.

M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA

CAPÍTULO 11
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
de primer orden

Cuando se estudia matemáticamente una situación de la realidad, el
modelo que se obtiene suele tener un carácter no lineal, siendo esto lo que le
confiere, en la mayoría de los casos, una gran dificultad. Uno de losprocedimientos más utilizados dentro de la Matemática, y de la Ciencia en
general, cuando se aborda un problema difícil, es considerar un problema más
sencillo que sea, en algún sentido, una buena aproximación del anterior. Al
estudiar este segundo problema se intenta obtener, de las conclusiones, algún
tipo de resultado para el problema primitivo. Una de las formas más usuales de
simplificar elproblema es linealizarlo. Si se quiere estudiar un problema no
lineal, el primer paso obligado es estudiar el problema lineal asociado de la
manera más completa posible para poder analizar así que ocurrirá en el caso
no lineal. El estudio de los sistemas lineales no es difícil y en numerosas
ocasiones se pueden obtener resultados concluyentes pues la estructura
algebraica de las solucioneses sencilla y a veces se puede dar una descripción
de la misma en términos de funciones elementales.
Un sistema de ecuaciones diferenciales de orden superior se transforma
en un sistema de primer orden añadiendo más variables. Por esta razón el
capítulo se centra en el estudio de los sistemas de ecuaciones diferenciales

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Sistemas deecuaciones diferenciales

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lineales de primer orden. La sección 1 comienza realizando una primera
aproximación entre los sistemas lineales y las ecuaciones diferenciales de
orden superior y estableciendo los teoremas de existencia y unicidad. En la
sección 2 se desarrolla la teoría general de la estructura de las soluciones de
los sistemas lineales de primer orden que es similar a la delas ecuaciones
lineales de orden superior. Así el conjunto de soluciones de un sistema lineal
de primer orden homogéneo tiene estructura de espacio vectorial y el no
homogéneo de espacio afín. La sección 3 está centrada en los métodos de
resolución de los sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes.
Utilizando la teoría algebraica para calcular los autovalores y autovectores deuna matriz se establece un procedimiento que permite resolver el sistema. Otro
forma de resolver sistemas lineales es utilizando la exponencial de una matriz,
que es el contenido de la sección 4. El capítulo termina con la sección 5 en la
que se desarrollan los métodos de resolución de sistemas lineales no
homogéneos, en los que de nuevo se observa un paralelismo con los
estudiados en elcapítulo anterior para resolver las ecuaciones lineales
completas de orden superior.

11.1. SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
Un sistema de ecuaciones diferenciales de orden superior puede
transformarse fácilmente en un sistema de primer orden sin más que añadir
más variables: si el sistema de orden superior es lineal también lo es el de

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Capítulo 11º: Ecuacionesdiferenciales

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primer orden. Por esta razón, sin pérdida de generalidad, es posible estudiar
únicamente los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden.

11.1.1. Conceptos previos
Definición 11.1.1:
Un sistema de k ecuaciones diferenciales de orden superior n
expresado de la forma f(x, y(x), y’(x), y’’(x), ..., yn)(x)) = 0 se denominalineal
cuando la función vectorial f es una función lineal con respecto a la función y(x)
y a todas sus derivadas.
En particular un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer
orden expresado de la forma f(x, y(x), y’(x)) = 0 se denomina lineal cuando la
función vectorial f es una función lineal respecto a y(x) y y’(x)
Cuando es posible despejar y’ el sistema se escribe de la siguiente...