circuitos en serie y paralelo
Páginas: 10 (2359 palabras)
Publicado: 25 de noviembre de 2013
UNIDAD IV: ESPACIOS VECTORIALES
4.1: definición de espacio vectorial
Los espacios vectoriales son un punto de partida, para estudiar muchos conjuntos de objetos de la matemática. Podemos decir que entre estos espacios los más conocidos son R, R2, y R3. Sin embargo, tal vez esto podrá inducir a una mala interpretación del concepto de espacio vectorial, porque dichos espacios tienencaracterísticas adicionales que los convierten en espacios vectoriales especiales: en ellos se definen las nociones de distancia y ángulos, conceptos que en general no están presentes en los espacios vectoriales.
Como se verá, lo fundamental que tiene un conjunto para llamarlo espacio vectorial es que sus objetos se puedan sumar y multiplicar por un escalar. Y que estas operaciones tengan las 10propiedades básicas que se enuncian en la definición siguiente. As los espacios vectoriales constituyen una plataforma inicial para estudiar ciertos conjuntos relacionados con conceptos como combinación lineal, independencia lineal y bases, entre otros.
Cuando en estos espacios se definen los productos internos y se origina los conceptos de normas, ángulos y proyecciones, los espacios resultantes sedenominan espacios con producto interno o espacios vectoriales normados, este es caso de los espacios Rn
Un conjunto de objetos E se llama espacio vectorial real y sus elementos se llaman vectores, si en este se han definido dos operaciones:
a) Una suma de vectores (denotada por +) y b) un producto de un número real por un vector, que tengan las siguientes propiedades:Definición 1
Un ejemplo en el que se ve la importancia del cuerpo en la estructura de espacio vectorial es el conjunto C de los números complejos. C tiene estructura de espacio vectorial sobre R y estructura de espacio vectorial sobre C. Pero son dos estructuras distintas; Como espacio vectorial complejo, fijado un elemento no cero, todo elemento de C se puede obtener multiplicando el elementofijo por otro del cuerpo. Pero como espacio vectorial real, fijado un elemento distinto de cero solo los elementos de la recta geométrica con dirección el elemento fijado se pueden obtener multiplicándolo por elementos del cuerpo.
Definición 2
Sea E un espacio vectorial real, 0e Ԑ E el vector cero, y a, b escalares en R entonces para todo u, v 2 Ԑ E se tiene:
La estructura de espacio vectoriales importante porque permite el concepto de dimensión que clásica a estos espacios y establece diferencias entre los subconjuntos de los espacios vectoriales llamados subespecies vectoriales. Se verá como ejercicio que la dimensión de C no es la misma cuando se considera espacio vectorial complejo que cuando se considera espacio vectorial real.
Ejemplos:
Espacios vectoriales de matrices.Considere el conjunto de matrices reales de 2 x 2. Denote este conjunto como M22. En la sección de matrices se definieron las operaciones de adición y multiplicación por un escalar en este conjunto y, de hecho, éste forma un espacio vectorial. Se analizarán algunos axiomas para comprobar esto.
Utilizando la notación vectorial para indicar los elementos de M22, sean
dos matrices de 2 x 2cualesquiera. Se tiene entonces que:
Axioma 1:
u + v es una matriz de 2 x 2. Por consiguiente, M22 es cerrada bajo la adición.
Axiomas 2 y 5:
De acuerdo al tema anterior de matrices, se sabe que las matrices de 2 x 2 son conmutativas y asociativas bajo la adición.
Axioma 3:
La matriz cero de 2 x 2 es , puesto que
Axioma 4:
Si , entonces ya que
El conjunto de matrices M22 de 2 x2 constituye un espacio vectorial. Las propiedades algebraicas de M22 son similares a las de Rn. Asimismo, se puede concluir que
Mmn, el conjunto de matrices de m x n es un espacio vectorial.
Ejemplo 2.
Espacios vectoriales de funciones.
Sea V el conjunto de funciones cuyo dominio está formado por los números reales. Sean f y g elementos cualesquiera de V. Se define la adición de f + g...
4.1: definición de espacio vectorial
Los espacios vectoriales son un punto de partida, para estudiar muchos conjuntos de objetos de la matemática. Podemos decir que entre estos espacios los más conocidos son R, R2, y R3. Sin embargo, tal vez esto podrá inducir a una mala interpretación del concepto de espacio vectorial, porque dichos espacios tienencaracterísticas adicionales que los convierten en espacios vectoriales especiales: en ellos se definen las nociones de distancia y ángulos, conceptos que en general no están presentes en los espacios vectoriales.
Como se verá, lo fundamental que tiene un conjunto para llamarlo espacio vectorial es que sus objetos se puedan sumar y multiplicar por un escalar. Y que estas operaciones tengan las 10propiedades básicas que se enuncian en la definición siguiente. As los espacios vectoriales constituyen una plataforma inicial para estudiar ciertos conjuntos relacionados con conceptos como combinación lineal, independencia lineal y bases, entre otros.
Cuando en estos espacios se definen los productos internos y se origina los conceptos de normas, ángulos y proyecciones, los espacios resultantes sedenominan espacios con producto interno o espacios vectoriales normados, este es caso de los espacios Rn
Un conjunto de objetos E se llama espacio vectorial real y sus elementos se llaman vectores, si en este se han definido dos operaciones:
a) Una suma de vectores (denotada por +) y b) un producto de un número real por un vector, que tengan las siguientes propiedades:Definición 1
Un ejemplo en el que se ve la importancia del cuerpo en la estructura de espacio vectorial es el conjunto C de los números complejos. C tiene estructura de espacio vectorial sobre R y estructura de espacio vectorial sobre C. Pero son dos estructuras distintas; Como espacio vectorial complejo, fijado un elemento no cero, todo elemento de C se puede obtener multiplicando el elementofijo por otro del cuerpo. Pero como espacio vectorial real, fijado un elemento distinto de cero solo los elementos de la recta geométrica con dirección el elemento fijado se pueden obtener multiplicándolo por elementos del cuerpo.
Definición 2
Sea E un espacio vectorial real, 0e Ԑ E el vector cero, y a, b escalares en R entonces para todo u, v 2 Ԑ E se tiene:
La estructura de espacio vectoriales importante porque permite el concepto de dimensión que clásica a estos espacios y establece diferencias entre los subconjuntos de los espacios vectoriales llamados subespecies vectoriales. Se verá como ejercicio que la dimensión de C no es la misma cuando se considera espacio vectorial complejo que cuando se considera espacio vectorial real.
Ejemplos:
Espacios vectoriales de matrices.Considere el conjunto de matrices reales de 2 x 2. Denote este conjunto como M22. En la sección de matrices se definieron las operaciones de adición y multiplicación por un escalar en este conjunto y, de hecho, éste forma un espacio vectorial. Se analizarán algunos axiomas para comprobar esto.
Utilizando la notación vectorial para indicar los elementos de M22, sean
dos matrices de 2 x 2cualesquiera. Se tiene entonces que:
Axioma 1:
u + v es una matriz de 2 x 2. Por consiguiente, M22 es cerrada bajo la adición.
Axiomas 2 y 5:
De acuerdo al tema anterior de matrices, se sabe que las matrices de 2 x 2 son conmutativas y asociativas bajo la adición.
Axioma 3:
La matriz cero de 2 x 2 es , puesto que
Axioma 4:
Si , entonces ya que
El conjunto de matrices M22 de 2 x2 constituye un espacio vectorial. Las propiedades algebraicas de M22 son similares a las de Rn. Asimismo, se puede concluir que
Mmn, el conjunto de matrices de m x n es un espacio vectorial.
Ejemplo 2.
Espacios vectoriales de funciones.
Sea V el conjunto de funciones cuyo dominio está formado por los números reales. Sean f y g elementos cualesquiera de V. Se define la adición de f + g...
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