Circunferencias

GEOMETRIA

PROPIEDAD 1: TEOREMA DE LAS CUERDAS QUE SE INTERSECTAN
Si dos cuerdas de una circunferencia se interceptan en un punto P, el producto de los segmentos determinados en una cuerda esigual al producto de los segmentos determinados en la otra cuerda.

[pic]

PA ( PC = PB ( PD
Dem: Unir A con D y B con C (Construcción geométrica)
Podemos usar Thales y a) [pic]Ángulos opuestos por el vértice con el arco DC
Teorema AAb) [pic] y producto cruzado
Ejemplo:
En la circunferencia siguiente se da la medida de dos trazos determinados por la intersección de las cuerdas y la medida totalde una de las cuerdas. Calcular el menor valor del segmento y.
[pic] a) 1 b) 4 c)9 d) 6.5 e) 3.25
Ejercicio:
En la circunferencia de centro O, el radio mide 6.5; BD=3 cm. BC=1cm. Y AC es eldiámetro. Calcular cuánto mide BE
[pic][pic]
PROPIEDAD 2: TEOREMA DE LAS SECANTES

Potencia de un punto: P puede estar dentro o fuera de la circunferencia
Si desde un punto delplano de una circunferencia se trazan secantes a la misma, el producto de distancias de dicho punto a los de intersección de cada secante es una constante.
Dem: [pic]
[pic][pic]
1) Si el punto nopertenece a la circunferencia:
Los triángulos PAB’ y PBA’ son semejantes por tener los ángulos iguales, por tanto [pic] entonces [pic]
[pic] AP·BP=CP·DP=EP·FP=GP²

[pic]PA·PB=PC·PD=PE·PF

[pic]Ejercicio
En cada caso, determinar la potencia del punto P con respecto a la circunferencia de centro O
[pic][pic]
a) PB=4 PD=12 b) PC=3 AC=18c) BD=20 PB=5 d) AP=12 PC=6

Ejercicio: Si PR=18cm SR=9cm Y QR=6cm. Calcular TS
[pic]

Ejercicio:
Calcular el valor de x si AB=3x DB=7x-2 BE=x BC=2x

[pic]...