Clase Ecuaciones Diferenciales


ECUACIONES DIFERENCIALES NUMERICAS

Una ecuación diferencial en la que intervienen una o mas derivadas ordinarias de la función incógnita se denomina ecuación diferencial ordinaria (EDO)., lasderivadas pueden ser de primer orden, segundo orden, tercer orden, etc, donde el mayor orden alcanzado para la derivada se denomina orden de la ecuación diferencial ordinaria.
En esta unidad se verándiferentes métodos de solución numérica a problemas que involucran con valores iniciales.
Tiene la siguiente forma:

Objetivo: calcular
Comenzaremos discutiendo los métodos para ecuaciones escalares yluego generalizamos los mismos a sistemas de ecuaciones.

EL MÉTODO DE EULER:
Sea la ecuación diferencial con valores iniciales . remplacemos los valores iniciales en de dondc se obtiene , elcual representa geométricamente la pendiente de la recta tangente en
Construyamos la recta tangente en , esto es:


Para calcular el valor de , calculamos la longitud del paso , construimos lapartición
y remplazamos el valor de en la
ecuación de la recta tangente en
Es decir:

….. fórmula de iteración

El proceso continua asignando el valor de en ; en hasta calcular

Laimplementación en MATLAB del método de Euler es relativamente simple. Hacemos esto mediante una subrutina llamada euler1 que recibe en la secuencia de llamada el nombre de la subrutina que calcula la función f, ylos datos x0, y0,n,a
Archivo en matlab

Para utilizar el programa digitalizar en la ventana de comandos
>> eul1('cos(x)-y/x',1,3,8,5)










MÉTODOS DE RUNGE KUTTA
Sea la ecuación diferencialcon valores iniciales , calcular
Calculemos la longitud de paso y construyamos la partición . Para calcular
Efectuemos las siguientes operaciones



. . . (+)
METODO DE RUNGE KUTA DE 2° ORDENIntegrando (+) según el método del trapecio se obtiene

Donde el valor desconocido se obtiene de la siguiente forma
. . . Euler
El proceso continua asignando el valor de en ; en hasta calcular...