Clase Gradientes Geometrico 2012

MATEMATICA FINANCIERA II UNIDAD II: GRADIENTES Clase: # Tema: GRADIENTES GEOMETRICOS O EXPONENCIALES GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL En las secciones anteriores hablamos de aumentos o disminuciones de los ingresos o egresos en los flujos de fondos en una cantidad constante. En esta sección trataremos, los aumentos o disminuciones de los ingresos o egresos, los cuales se dan en un porcentajeconstante respecto al pago anterior. Gradiente Exponencial Creciente En el gradiente exponencial cada flujo o pago es igual al anterior multiplicado por el factor (1+ r) donde r es una constante, si es positiva (negativa) representa el porcentaje de decrecimiento del flujo anterior. Valor Presente de un Gradiente Exponencial Creciente. Como siempre se trata de calcular el valor presente Pequivalente, tomando como fecha focal el origen en el periodo (0) cero. En un gradiente creciente vencido el primer pago E se ubica al término del primer periodo, como se muestra en el gráfico 2.23. E(1+ r)N-1 E (1+ r )N-2 E E (1+ r ) E (1 + r )2

Periodos 0 1 2 3 N-1 Gráfico 2.23 N

En consecuencia designamos. E: valor del primer pago en el período 1. r: tasa de crecimiento del pago anterior. i: tasade interés efectiva periódica. N: cantidad de períodos capitalizados. Entonces: E (1 + r)0 : valor primer pago E (1 + r)1 : valor segundo pago 2 : E (1 + r) valor tercer pago E (1 + r)3 : valor cuarto pago . . . E (1 + r)N-1 : valor del n –ésimo pago

1

(

)

[

(

)

(

)

] ir

Fórmula 2.14

Si la tasa de crecimiento r coincide con la tasa de interés i, es decir, r = iobtenemos la siguiente fórmula para el cálculo del valor presente,

P

E N  ; 1  i 

(i = r)

Fórmula

2.15

Ejemplo 2.8 Los ingresos de un proyecto se estiman que el primer año sea $ 10,000 con un crecimiento anual del 10% hasta el año 5. (Ver gráfico 2.24). Determinar el valor presente a un interés del 15% 13,310 12,100 10,000 11,000 14.641

0

1

2

3

4 Gráfico 2.24Solución:

5

Años

Datos: E = $ 10,000 valor del primer ingreso anual r = 10% tasa de crecimiento anual del ingreso i = 15% tasa de interes anual N = 5 años Como i  r la fórmula 2.14 tenemos

 1  0.155  1  0.105  P  10,0001  0.15   0.15  0.10    0.400847  P  10,0000.497176    0.05  P  10,0003.985832   $39,858.32
5

Valor Futuro de un GradienteExponencial Creciente. Si deseamos hallar el valor futuro F del gradiente exponencial creciente, basta multiplicar N el valor presente P de la fórmula 2.14 por el factor: 1  i  Así obtenemos;

2

 1  i N  1  r N  ir   1  i N  1  r N  F  E  ; i  r, ir   P1  i   E 1  i 
N N

 N 1  i  ; 

Fórmula 2.16

Igualmente si deseamos obtener el valor futuro,para cuando r = i, basta con multiplicar el N valor presente P de la fórmula 2.15 por el factor 1  i  E N  (r = i) P ; 1  i  E N  N 1  i N ; (r = i) P1  i   1  i 
F  E N 1  i 
N 1

;

(r = i)

Fórmula 2.17

Ejemplo 2.9 La compañía SBN desea acumular una cantidad de dinero en un fondo mediante depósitos trimestrales durante 10 años. El primer depósito será de $2,000 con incrementos del 8% trimestral. Si la tasa de interés que devengan el fondo es del 10% C.T. Cuánto tendrá acumulado la compañía al final del plazo. El flujo se muestra en el gráfico 2.25 0 1 2 3 4 5 ……. Trimestres 2,160 2,000 2,332.8 2,519.4 2,720.97 37,250.55 40,230.60 Gráfico 2.25 Solución: Datos: E = $ 2,000 valor del primer depósito trimestral vencido r = 8% tasa de crecimiento deldepósito j = 10% C. T, entonces m = 4 i = 2.5 %efectivo trimestral n = 10 años de plazo N = 40 períodos trimestrales = 40 depósitos F=? Por la fórmula 6.16 se tiene: 39 40

3

 1.02540  1.0840  F  2,000    0.025  0.08   2.685063  21.724521  F  2,000    0.055     19.03957  F  2,000   2,000346.171957    0.055  F  $692,343.91
Así, la compañía tendrá al final...