Clase07Sistemas De Segundo Orden

Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica
Facultad de Ingeniería UNAM

Sistemas de segundo orden

México D.F. a 11 de Septiembre de 2006

Sistemas de segundo orden

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden a
una ecuación diferencial linea de segundo orden

d 2c(t )
dc(t )
d 2 r(t )
dr (t )
a0
 a1
 a2c(t ) b0
 b1
 b2 r (t )
2
2
dt
dt
dt
dt
Sin pérdida de generalidad se analizará un caso muy común donde:

a0 1, a1  p, a2 b2 K , b0 b1 0.
Que corresponde al siguiente sistema de segundo orden:

R (s )

E (s )

K
s( s  p)

C (s )

donde

K

es una const.
que representa
una ganancia.

p

es una const. real
representa al polo
del sistema.

Sistemas de segundoorden

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Su función de transferencia de lazo cerrado es:

C ( s)
K
 2
R ( s ) s  ps  K
C ( s)
K

2
R( s) 

p
p
p
s 


 K s 


2
4
2




p2
 K

4


Como se aprecia, los polos de lazo cerrado pueden ser de tres tipos
2
p
K
1. Reales diferentes si: p  K , 2. Reales iguales si:
4
4
2
p
K
3. Complejos si4
2

Para facilitar el análisis se realiza el siguiente cambio de variables

K  n2

p 2 n 2

Sistemas de segundo orden

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 n2
C ( s)
 2
R ( s ) s  2 n s   n2

forma estándar del sistema
de segundo orden.

donde  n es la frecuencia natural no amortiguada,  se denomina
atenuación,  es el factor deamortiguamiento. Ahora el comportamiento
dinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de los
parámetros  y  n .
Se analizará la respuesta transitoria ante una entrada escalón unitario:

(0    1): en este caso C ( s ) R ( s ) se escribe
 n2
C ( s)

R ( s ) ( s   n  j d )( s   n  j d )

(1) Caso subamortiguado

2

donde  d  n 1   se denomina fracuencia naturalamortiguada. Si
es una entrada escalón, entonces

 n2
C ( s)  2
( s  2 n s   n2 ) s

R (s )

Sistemas de segundo orden

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Utilizando fracciones parciales

s   n
 n
1
C (s)  

2
2
s ( s   n )   d ( s   n ) 2   d2
y conociendo que
-1 


s   n
  nt
L 

e
cos  d t
2
2
 ( s   n )   d 
-1 

d
  nt
L 

e
sen d t
2
2
 ( s   n )   d 
Se obtiene la salida en el tiempo

e   nt

2

1


  d t  tan  1

c (t ) 1 
sen
2



1 



(t 0)

Sistemas de segundo orden
(2) Caso de amortiguamiento crítico (

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1) :

en este caso se tienen dos polos reales iguales y C (s ) ante un escalón es n2
C ( s) 
(s   n )2 s
la transformada inversa arroja

c(t ) 1  e   nt (1   nt )

(t 0)

Sistemas de segundo orden

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(3) Caso sobreamortiguado (  1) :
en este caso se tienen dos polos reales negativos y diferentes. Para una
entrada escalón, C (s ) es

C (s) 

( s   n   n

 n2
 2  1)( s   n   n 2  1) s

La transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior es

c(t ) 1 


1
2

2

2   1(    1)
1
2

2

2   1(    1)

e

e

 (   2  1) nt

 (   2  1) nt

Sistemas de segundo orden
2
1.8
1.6
1.4

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

 0
  0.2
  0.4
  0.7

1.2

  0.8

1
0.8

 1 ca

0.6

  1 sa

0.4
0.2
0

0

24

6

8

10

Fig. Curvas de respuesta al escalón unitario.

12

Figura. Respuesta
al escalón de
diferentes sistemas
de segundo orden.

Sistemas de segundo orden

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Respuesta impulsiva de sistemas de segundo orden

n2
C (s)  2
s  2 n s  n2
Utilizando transformada inversa obtenemos las siguientes soluciones de...