Clasificación estática de las estructuras

2.3 introducción

Clasificación estática de las estructuras
Si las incógnitas principales son las fuerzas debe obtenerse, en primer lugar, el grado de indeterminación estática de la estructura (GIE) y, a partir de éste, clasificarla estáticamente, para aplicar un método adecuado de cálculo. Debe prestarse especial atención al caso de los mecanismos, ya que el valor del grado de indeterminaciónno es el único determinante, pudiendo presentarse problemas de inestabilidad como se verá en los ejemplos planteados en el tema.

Grado de indeterminación estática
El grado de indeterminación estática (GIE) o grado de hiperestaticidad es el número de fuerzas redundantes de la estructura, es decir, el número de fuerzas incógnita independientes que no pueden determinarse mediante las ecuacionesde equilibrio de la estructura, dado que el número de incógnitas estáticas excede el número total de ecuaciones de equilibrio disponibles. El número de fuerzas redundantes no varía para una misma estructura, aunque sí variará la selección que se haga de éstas de entre todas las fuerzas incógnitas.

Llamamos:
B = número de barras
N = número de nudos
ΣDtb = número de desconexiones totales enextremo de barra
ΣR = número de reacciones

El número total de incógnitas estáticas se obtiene sumando las incógnitas externas (reacciones) y las incógnitas internas (esfuerzos de extremo de barra).
Dado que una barra perteneciente a una estructura plana tiene 2 extremos (i, j) y 3 esfuerzos en cada uno de ellos (axil, cortante y flector: Fxi, Fyi, Mi, Fxj, Fyj, Mj), el número total deincógnitas estáticas será:

Número total de incógnitas estáticas: 6B + ΣR

El número total de ecuaciones de equilibrio se obtiene sumando las ecuaciones de equilibrio en nudo y en barra, que son 3 respectivamente en el caso de estructuras planas. A éstas hay que sumarle una ecuación por cada desconexión total en extremo de barra, ya que aporta una condición de esfuerzo nulo en la dirección de ladesconexión.

Número total de ecuaciones de equilibrio: 3N + 3B +  Σtb

El GIE se obtiene descontando del número total de incógnitas estáticas el número de ecuaciones de equilibrio, es decir, mediante la expresión:

GIE = (6B + ΣR) – (3N + 3B +  ΣDtb) = (3B + ΣR) – (3N +  ΣDtb)

La aplicación de esta expresión implica una modelización previa de la estructura, separando nudos y barras yasignando a cada extremo de éstas sus condiciones de vínculo, así como identificando los tipos de apoyo y sus reacciones asociadas.

Puede utilizarse una variante de esta expresión que no necesita modelización si se distingue entre nudos libres (NL) y apoyos (A) y se añaden las desconexiones totales en los apoyos (DtA). Entonces:

3N = 3NL + 3A y ΣR = 3A – ΣdtA

Al sustituir en la expresión delGIE se obtiene esta nueva expresión que no necesita de modelización previa:

GIE = (3B + ΣR) – (3N +  ΣDtb)= (3B + 3A- ΣDtA) – (3NL + 3A +  ΣDtb)

GIE = (3B) – (3NL +  ΣDtb ΣDtA)

Veamos un ejemplo:

Figura 1: Ejemplo de estructura plana para la obtención del GIE

B = 3 (barras 1, 2 y 3)
NL = 2 (nudos B y C)
A = 2 (apoyos A y D)
Dtb = 0 (no hay desconexiones entre barras, losnudos B y C son rígidos)
ΣDtA = 3 (giro en A, movimiento horizontal y giro en D)

Por tanto: GIE = (3B) – (3NL +  ΣDtb ΣDtA)= 9 – (6 + 03) GIE = 0

Calcularemos ahora el GIE de la misma estructura a partir de la modelización representada en la figura 2, en la que se ha asociado la rótula al extremo i de la barra 1 y el carrito al extremo j de la barra 2.


Figura 2: Ejemplo demodelización de la estructura plana del ejemplo 1

Según esta modelización:
B = 3 (barras 1, 2 y 3)
N = 4 (2 nudos libres, B y C, y 2 apoyos, A y D)
Dtb = 2
ΣR = 5 (tres en A y 2 en D)
Por tanto: GIE = (3B + ΣR) – (3N +  ΣDtb) = (9 + 5) – (12 + 2) GIE = 0

Clasificación
Las estructuras se clasifican estáticamente, según el GIE, en:
1.- Estructuras isostáticas: GIE = 0...