Clave 107 3 V 1 00 2014 SQ

CLAVE: 107-3-V-1-00-2014
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTE DE MATEMATICA

CURSO:

MATEMATICA INTERMEDIA 1

JORNADA:

VESPERTINA

SEMESTRE:

1 er SEMESTRE

AÑO:

2014

TIPO DE EXAMEN:

TERCER PARCIAL

NOMBRE PERSONA QUE RESOLVIÓ
EXAMEN:

MORIS PINEDA

NOMBRE DE LA PERSONA QUE
REVISÓ EXAMEN:

INGA. SILVIA HURTARTE

INSTRUCCIÓNES
A continuación encontrará 10preguntas, las cuales tienen 5 opciones. Encierre con un óvalo la
respuesta correcta, con lapicero. Ud. Tendrá 90 minutos para responder el examen. NAC significa
que ninguna de las anteriores es correcta. Cada pregunta tiene una ponderación de 10 puntos.

1.

Determine si la serie ∑∞
𝑛=1
a)

2.

1

b)

2
(𝑛+1)(𝑛+2)

, dada converge y a qué valor.

3

c)

2

1

2

d)

2

e) NAC

3

2𝑛−1

Determinesi la siguiente sucesión converge o diverge: {3𝑛2+1 }. Si la sucesión converge encuentre
su límite.
a)

3.

𝑒 𝑛−1

∑∞
𝑛=1 2 ( )
2

1

𝜋 5

− 5! (𝑥 − 2 )

∞

e) NAC

1
1
𝑛 ⁄2

4 𝑛−1

c) ∑∞
𝑛=1 3 ( )

d) ∑∞
𝑛=1

3

1
𝑛2

e) NAC

1

b) − 3! 𝑥 3

1

𝜋 3

𝜋 5

c) − 3! (𝑥 − 2 )

d) − (𝑥 − 2 )

b) 2

c) 0

e) NAC

(2𝑥)𝑛

d)

𝑛
1
2

e) NAC

Encuentre el área dentro de la curva 𝑟 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃
3𝜋

b)

3𝜋
4c)

3𝜋

d)

2

𝜋
2

e) NAC

Calcule el perímetro de la gráfica de la curva polar 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛𝜃
a) 10𝜋

8.

b) ∑∞
𝑛=1

Determine el radio de convergencia de la serie de potencias ∑∞
𝑛=1

a)
7.

d) Converge 0

𝜋

a)

6.

1

c) Converge a − 3

Encuentre el tercer término del polinomio de Taylor, centrado en 2 , para 𝑓 (𝑥) = cos(𝑥).
a)

5.

b) Diverge

Determine cuál de las siguientes series converge:
a)4.

2

Converge a 3

b)

5𝜋
2

c) 5𝜋

d) 25𝜋

e) NAC

Encuentre una ecuación polar para el círculo con centro en (5,0) y radio 5.
a) 𝑟 = 10𝑐𝑜𝑠𝜃

b) 𝑟 = 10𝑠𝑒𝑛𝜃

c) 𝑟 = 5𝑐𝑜𝑠𝜃

d) 𝑟 = −10𝑐𝑜𝑠𝜃 e) NAC

9.

Encuentre la ecuación que corresponde a la siguiente gráfica:

a) 𝑟 = 2𝑠𝑒𝑛3𝜃

b) 𝑟 = 6𝑠𝑒𝑛3𝜃

10. Encuentre la suma ∑∞
𝑛=1 (
a)

1
6

1
3𝑛

b)

−

1
4𝑛

c) 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠3𝜃

d) 𝑟 = 6𝑐𝑜𝑠3𝜃 e) NAC

)

1

c)−1

6

d) 0

TERCER PARCIAL
1.

2

Determine si la serie ∑∞
𝑛=1 (𝑛+1)(𝑛+2), dada converge y a qué valor.
Esta es una serie telescópica, se debe de trabajar con sumas parciales
∞

∑
𝑛=1

2
𝐴
𝐵
=
+
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) (𝑛 + 1) (𝑛 + 2)

Se multiplica por (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) para obtener

𝐴(𝑛 + 2) + 𝐵(𝑛 + 1) = 2
𝐴𝑛 + 2𝐴 + 𝐵𝑛 + 𝐵 = 2
Agrupando coeficientes con 2
(A+B)n=0
(2A+B)=2
se obtiene

2𝐴 + 𝐵 = 2
𝐴+𝐵 =0
𝐴= −𝐵
Despejando A y B

𝐴 = −𝐵

−2𝐵 + 𝐵 = 2

𝐴=2

𝐵 = −2

e) NAC

Se substituyen A Y B en la serie, obteniendo lo siguiente:

𝑠𝑛 = ∑
𝑠𝑛 = (1 +

𝑛

2
−2
+
(𝑖
+
1)
(𝑖
+ 2)
𝑖=1

−2
2 2
2 2
2
−2
)+ ( − ) +( − ) +⋯+ (
+
)
(
)
(
3
3 4
4 5
𝑛+1
𝑛 + 2)
= 1+

−2
(𝑛 + 2)

0
−2
lim 𝑠𝑛 = lim (1 +
) = 1+0 = 1
𝑛→∞
𝑛→∞
(𝑛 + 2)

Por lo tanto la serie converge a un valor de: 1

2.

Determine si la siguientesucesión converge o diverge: {

2𝑛−1
3𝑛2 +1

}. Si la sucesión converge

encuentre su límite.
En esta sucesión se aplica el teorema de los límites de funciones polinomiales y racionales que dice:
𝑝(𝑥)
Si r(x) es una función racional dada por 𝑟(𝑥) =
⁄𝑞(𝑥) y c es un número real tal que q(c)≠0
𝑝(𝑐)
entonces lim 𝑟(𝑥) = 𝑟(𝑐) =
⁄𝑞(𝑐)
𝑥→𝑐
Aplicando el teorema anterior nos da directamente que la serie converge a0

lim (

𝑛→∞

2𝑛 − 1
)=0
3𝑛2 + 1

Tambien se puede aplicar L’Hopital
lim (

𝑛→∞

2𝑛 − 1
∞
)=( )
2
3𝑛 + 1
∞

Forma indeterminada que no garantiza que un límite existe, ni indican lo que el límite es, si existe

lim (

𝑛→∞

2
1
)=( )=0
6𝑛
∞

CONVERGE A 0

3.

Determine cuál de las siguientes series converge:
a)

𝑒 𝑛−1

∑∞
𝑛=1 2 ( )
2

Acomodando términos para definir claramente el valor de r
∞

∞𝑛=1

𝑛=1

𝑒 𝑛−1
𝑒 𝑛−1
∑ 2( )
=2∑( )
2
2
𝑒

Por lo tanto 𝑟 = 2
Este es el caso de una serie geométrica, para demostrar su convergencia el teorema dice:
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠í |𝑟| < 1
𝑒
2

| | > 1 Por lo tanto la serie diverge

b) ∑∞
𝑛=1

1
1
𝑛 ⁄2

Esta es una serie de p, para demostrar su convergencia el teorema dice:
∑

1
𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝑝 > 1 𝑦 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝑝 ≤ 1.
𝑝
𝑛=1 𝑛
∞

𝑝≤

1
2

Por lo tanto la...