coloquio Algebra 2 FIUBA resuelto

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FACULTAD DE INGENIERÍA ­ UBA 

ÁLGEBRA II 

Primer cuatrimestre  2012 

EXAMEN INTEGRADOR 
25 de julio de 2012 (4ª fecha) 
TEMA  1 
RESOLUCIÓN 
Aclaración: El alumno debe tener presente que siempre hay más de una forma correcta de 
resolver un ejercicio.  La resolución aquí presentada es una de las tantas posibles. 
EJ ERCICIO 1: 
ì(  ) (  +  x  y ' = xy + e x 
i  1  ) (a) Resolver í
, especificando intervalo de unicidad de la solución. 
ii  (  ) 
î(  )  y  0  = 1 
(b)  Hallar,  si  existen,  todos  los  valores  reales  no  nulos  de  a   para  los  cuales  la  ecuación 
y "+  ay '  4  2 y = 4  5  admite  alguna  solución  f  tal  que  x Lim + ¥ f ( x ) = -8 .  En  caso  de  existir, 
  4  + a 
a 
encontrar alguna de estas soluciones. 
RESOLUCIÓN 1) (a) para todo x Î Â :
[(1  x ) e - x  ] ' 
+

6  8
7
(  + x  y '  xy = e x  Û (  + x  e  x y  - xe  x  y  = 1 Û (  + x  e  x y  ' = 1 
1  )  1  )  - ' 
1  )  -

[

] 

Por  lo  tanto,  existe  una  constante  real  c  tal  que  (  + x  e  x y  = x + c .  Entonces,  para  x ¹ -1 es 
1  )  - 
x + c  x 
y ( x  = 
) 
e  .  La condición (ii) impone entonces c = 1 y la elección del intervalo (-  ,  ) . Por 
1 +¥
x + 1 
lo tanto, la única solución del problema (i) (ii) en  (-  ,  )  es  y( x  = e x  . 
1 +¥
) 

Observación:  En  - {- 1 }  se tienen las infinitas soluciones
ìe x 
ï
y  ( x  = í x + c  x 
) 
c
ï x + 1 e 
î

x > -1 
x < -1 

RESOLUCIÓN  1)(b):  La  ecuación  algebraica  asociada  a  la  ecuación  diferencial  homogénea 
y"    ay '  4  2 y = 0  es  l2+ 4  + 4  2  = 0 ,  es  decir:  (   + 2  ) 2 = 0 .  Por  otra  parte,  una  solución 
  +4  + a 
 
a a 
l a
2 
5 
3
particular de  y"+  ay +4  y = 4  es la constante  y p = a   . Por lo tanto, todas las soluciones de la 
  4  '  a 
a 
3 
ecuación  y"+  ay +4  2 y = 4  5  son  las  funciones  y ( x  = (  1  + c  x  e  2 ax + a  .  Si  alguna  de  las 
  4  '  a 
a 
)  c  2  )  - 
3 constantes  c1  , c  es  no  nula,  el  límite  de  y ( x  = (  1  + c  x  e  2 ax + a  cuando x ® +¥ sólo  puede 
  2 
)  c  2  )  - 
3
existir  si  a   >  0,  y  en  ese  caso  el  límite  es  a     (que  es  positivo),  o  bien  si  a   =  0  y  c2 = 0 ,  caso 
 
descartado  en  el  enunciado  (se  pide  a   no  nulo).  Por  lo  tanto,  debe  ser  necesariamente  a    0 para 
(  ) 
( ) 2 

} 
todo x Î Â3 - {0  ,  que  1  Q( x  £  x  £ 1  Q  x  .  Por  lo  tanto,  para  todo  x Î Â3 tal  que  Q(x)  =  2 
) 
(  ) 
9 
2 
2 

resulta  2 £  x  £ 1 . Obviamente, esto no demuestra que  2  es mínimo buscado ni que 1 es máximo. 
9 
9 
Debe  verificarse, además, que existe al  menos un  x  ΠÂ3  tal que  Q  x  ) = 2  y  x0
(  0
 
0

2 

2 
=  9  y  algún 

2 

y Î Â3  tal  que  Q  y  ) = 2  y  y  = 1 .  Que  estos  puntos  existen  y  cuáles  son,  es  parte  de  la 
(  0
0
0
respuesta solicitada. 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 
EJ ERCICIO  4:  Encontrar  la  solución  general  del  sistema  X ' =  AX  ,  siendo  A Î Â3´3  la  matriz 
simétrica tal que  A2  = I  ,  A ¹  I  y  Ax = x para todo  x Î Â3 tal que  2 x1 - x  + 2 x  = 0 . 
  2 
3 
3
RESOLUCIÓN:  A es la matriz (respecto de la base canónica de    ) de la reflexión respecto del 
subespacio S = { x Î Â3  : 2 x  - x  + 2 x  } 
- 1  2   T  , v  = [1 2  0   T  y
]
]
1 
2 
3  .  Por lo tanto, dados u  = [2
3
w = [0 2  1  T  (que  forman una  base de    ), tenemos que Au  = ­u, Av = v  y  Aw =  w,   pues
]
{}
{ , }. 
S ^  = gen  u   y S  = gen  v  w    Entonces, la solución general del sistema es

é 2 
ù
é1 
ù
é0 
ù
ê - 1  + b e  ê2  + c e  ê2 
ú
ú
ú
t 
t 
X (  ) = a e  ê ú
t 
ê ú
ê ú
ê 2 
ê0 
ê1 
ë ú
û
ë ú
û
ë ú
û
- 
t 

Obviamente,  los  vectores  v  y  w  pueden  reemplazarse  por  cualquier  otro  par  que  constituya  una 
]...