Combinatoria mate
Páginas: 34 (8380 palabras)
Publicado: 5 de diciembre de 2011
Solucionario
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10.I.
Combinatoria
ACTIVIDADES INICIALES
Unos códigos cifrados en cierto idioma tienen que estar formados por cuatro consonantes seguidas de dos vocales y a continuación seis dígitos. Tanto las consonantes como las vocales y los dígitos se pueden repetir. ¿Cuántos códigos distintos se podrán formar teniendo en cuenta que el alfabeto de ese idioma tiene 21 consonantes y5 vocales? 21 · 21 · 21 · 21 · 5 · 5 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 5,862025 · 1012 códigos diferentes
10.II. En un polideportivo se puede practicar pádel, tenis, gimnasia, natación, esgrima y saltos de trampolín. Para realizar cada una de estas actividades se puede escoger entre dos franjas horarias en la mañana y tres en la tarde. ¿Cuántas elecciones puede hacer una persona que quiererealizar uno de estos deportes? Se va a elegir un solo deporte, y en una de las cinco franjas horarias que ofrece el polideportivo, 2 diurnas y 3 por la tarde; por tanto, hay: 6 · 5 = 30 elecciones diferentes
EJERCICIOS PROPUESTOS
10.1. En una liga de fútbol en la que participan 18 equipos, el primer clasificado acude a un campeonato europeo y el segundo tiene que ir a una eliminatoria previa. ¿Decuántas formas diferentes se pueden ocupar estos dos puestos? Hay V18,2 = 18 · 17 = 306 formas diferentes de ocupar los dos primeros puestos. 10.2. ¿Cuántas apuestas habrá que rellenar para acertar seguro una quiniela de 14 partidos? Habrá que rellenar VR3,14 = 314 = 4 782 969 apuestas. 10.3. ¿Cuántos números naturales de seis cifras distintas hay? Hay V10,6 = 151 200 números con seis cifrasdistintas, pero aquí están incluidos los que comienzan por cero, que son V9,5 = 15 120, y que hay que eliminarlos; así que la solución es V10,6 – V9,5 = 136 080 números. 10.4. ¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar las letras de la palabra LIBRO? Se pueden ordenar de P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 formas distintas. 10.5. Seis amigos van al cine y compran seis entradas con asientosconsecutivos. ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse? Se pueden sentar de P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 formas distintas. 10.6. En un banquete de bodas, las mesas son redondas y con capacidad para ocho comensales a) ¿De cuántas formas podrán sentarse en una de las mesas? b) ¿Cuántas distribuciones diferentes habrá en una mesa en la que dos personas quieren estar juntas? a) Como las mesas sonredondas, se trata de permutaciones circulares. Se podrán sentar de PC8 = 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 formas diferentes. b) Como dos personas deben estar siempre juntas, se trataría de PC7, pero como estas dos personas se pueden sentar de dos formas, habrá: 2 · PC7 = 2 · 6! = 2 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 1440 distribuciones diferentes
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Solucionario
10.7. Para acceder a una cajafuerte se tiene que introducir un número de 10 cifras. Se sabe que dicho número está formado por 5 doses, 3 cincos y 2 seises. ¿Cuántas claves diferentes se pueden formar?
5 P10, 3, 2 =
10 ! = 2520 claves diferentes 5! 3! 2!
10.8. Un equipo de balonmano ha ganado una liga ganando 10 partidos, empatando 2 y perdiendo 4. ¿De cuántas formas diferentes lo ha podido hacer?
10 De P16 , 2, 4 =16 ! = 120 120 formas diferentes 10 ! 2 ! 4 !
10.9. ¿Cuántas quinielas distintas se pueden rellenar con 8 unos, 4 equis y 2 doses?
8 P14, 4, 2 =
14 ! = 45 045 quinielas distintas 8! 4! 2!
10.10. ¿Cuántos números mayores que un millón existen que contengan exactamente las siguientes cifras? 0, 2, 2, 3, 3, 3, 4
3 Con las cifras dadas se pueden formar P7 , 2, 1, 1 =
7! = 420 númerosdiferentes. 3 ! 2 ! 1! 1!
6! = 60. 3 ! 2 ! 1! Por tanto, habrá 420 – 60 = 360 números diferentes mayores que un millón.
3 Los números menores que un millón empiezan por 0, y hay P6 , 2, 1 =
10.11. Con 1 uno, 2 doses y 3 treses: a) ¿Cuántos números de seis cifras se pueden formar? b) ¿Cuántos de ellos son pares? c) ¿Cuántos son divisibles por 3? d) ¿Cuántos empiezan y terminan por 3?
3 a)...
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10.I.
Combinatoria
ACTIVIDADES INICIALES
Unos códigos cifrados en cierto idioma tienen que estar formados por cuatro consonantes seguidas de dos vocales y a continuación seis dígitos. Tanto las consonantes como las vocales y los dígitos se pueden repetir. ¿Cuántos códigos distintos se podrán formar teniendo en cuenta que el alfabeto de ese idioma tiene 21 consonantes y5 vocales? 21 · 21 · 21 · 21 · 5 · 5 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 5,862025 · 1012 códigos diferentes
10.II. En un polideportivo se puede practicar pádel, tenis, gimnasia, natación, esgrima y saltos de trampolín. Para realizar cada una de estas actividades se puede escoger entre dos franjas horarias en la mañana y tres en la tarde. ¿Cuántas elecciones puede hacer una persona que quiererealizar uno de estos deportes? Se va a elegir un solo deporte, y en una de las cinco franjas horarias que ofrece el polideportivo, 2 diurnas y 3 por la tarde; por tanto, hay: 6 · 5 = 30 elecciones diferentes
EJERCICIOS PROPUESTOS
10.1. En una liga de fútbol en la que participan 18 equipos, el primer clasificado acude a un campeonato europeo y el segundo tiene que ir a una eliminatoria previa. ¿Decuántas formas diferentes se pueden ocupar estos dos puestos? Hay V18,2 = 18 · 17 = 306 formas diferentes de ocupar los dos primeros puestos. 10.2. ¿Cuántas apuestas habrá que rellenar para acertar seguro una quiniela de 14 partidos? Habrá que rellenar VR3,14 = 314 = 4 782 969 apuestas. 10.3. ¿Cuántos números naturales de seis cifras distintas hay? Hay V10,6 = 151 200 números con seis cifrasdistintas, pero aquí están incluidos los que comienzan por cero, que son V9,5 = 15 120, y que hay que eliminarlos; así que la solución es V10,6 – V9,5 = 136 080 números. 10.4. ¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar las letras de la palabra LIBRO? Se pueden ordenar de P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 formas distintas. 10.5. Seis amigos van al cine y compran seis entradas con asientosconsecutivos. ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse? Se pueden sentar de P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 formas distintas. 10.6. En un banquete de bodas, las mesas son redondas y con capacidad para ocho comensales a) ¿De cuántas formas podrán sentarse en una de las mesas? b) ¿Cuántas distribuciones diferentes habrá en una mesa en la que dos personas quieren estar juntas? a) Como las mesas sonredondas, se trata de permutaciones circulares. Se podrán sentar de PC8 = 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 formas diferentes. b) Como dos personas deben estar siempre juntas, se trataría de PC7, pero como estas dos personas se pueden sentar de dos formas, habrá: 2 · PC7 = 2 · 6! = 2 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 1440 distribuciones diferentes
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10.7. Para acceder a una cajafuerte se tiene que introducir un número de 10 cifras. Se sabe que dicho número está formado por 5 doses, 3 cincos y 2 seises. ¿Cuántas claves diferentes se pueden formar?
5 P10, 3, 2 =
10 ! = 2520 claves diferentes 5! 3! 2!
10.8. Un equipo de balonmano ha ganado una liga ganando 10 partidos, empatando 2 y perdiendo 4. ¿De cuántas formas diferentes lo ha podido hacer?
10 De P16 , 2, 4 =16 ! = 120 120 formas diferentes 10 ! 2 ! 4 !
10.9. ¿Cuántas quinielas distintas se pueden rellenar con 8 unos, 4 equis y 2 doses?
8 P14, 4, 2 =
14 ! = 45 045 quinielas distintas 8! 4! 2!
10.10. ¿Cuántos números mayores que un millón existen que contengan exactamente las siguientes cifras? 0, 2, 2, 3, 3, 3, 4
3 Con las cifras dadas se pueden formar P7 , 2, 1, 1 =
7! = 420 númerosdiferentes. 3 ! 2 ! 1! 1!
6! = 60. 3 ! 2 ! 1! Por tanto, habrá 420 – 60 = 360 números diferentes mayores que un millón.
3 Los números menores que un millón empiezan por 0, y hay P6 , 2, 1 =
10.11. Con 1 uno, 2 doses y 3 treses: a) ¿Cuántos números de seis cifras se pueden formar? b) ¿Cuántos de ellos son pares? c) ¿Cuántos son divisibles por 3? d) ¿Cuántos empiezan y terminan por 3?
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